线性代数知识点梳理（部分）

第一次在CSDN上发博客，文章是之前写的~

线性方程组Ax=0是有平凡解和非平凡解的。方程Ax=0有非平凡解当且仅当其解的形式含有自由变量，而此时便可以推断A的列是线性相关的。矩阵方程Ax=b的解可由AX=0的解平移得到。线性变换有多种形式：从方程的角度，从矩阵A的角度，从x→Ax的角度…

矩阵是否可逆是研究矩阵的一个重要角度。我们说一个矩阵可逆（非奇异），从定义的角度（AC=I/CA=I）不容易揭示它的内涵，一个很重要的事实是，任何一个可逆矩阵都行等价于一个单位矩阵，它是可逆矩阵定理的基础。可逆矩阵A都是满秩的，A的各列线性无关，Ax=0的解没有自由变量，Ax=0只有平凡解，而对于Ax=b,则有唯一解。

涉及矩阵的分块，只需掌握分块原则，以及分块后把每个小分块当做一个“数”来处理即可，这在大型计算中是常用的。在大型计算中，当涉及到Ax=b,而b有很多的值的时候，常常用到LU分解使计算更加简便。LU分解在本质上是高斯消元法的一种表达形式。实质上是将A通过初等行变换变成一个上三角矩阵U，其变换矩阵就是一个单位下三角矩阵L(mxm)。因为L、U都是呈阶梯状的，因此解起来很方便，只需要逐步回代即可，LU如何分解以及分解后如何有助于计算，详见（p123）。

矩阵的行列式也是矩阵研究的重要内容。在 n 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。对于行列式，要掌握求解一个矩阵行列式的普通方法（详见p164）和简便方法。简便的方法需要用到矩阵行变换，此时应当慎用，应注意它们对行列式的影响（详见p169）。克拉默法则是对余子式的一个应用，对求解并无多大效果，但它导出了一个求解A的逆矩阵的公式（详见p178）。利用行列式可以求一些面积和体积。

向量空间又称线性空间，是线性代数的中心内容和基本概念之一。至此，向量逐渐走向规范化。向量空间中有代表性的子空间有零空间、列空间和行空间。NulA是使得Ax=0的x的集合构成的空间（故NulA的维数等于自由变量个数），而x是在原Rn空间中找的，故NulA是Rn的子空间。ColA是A的各列生成的空间，它的维数由A中主元位置的个数决定，因为ColA最多有m个主元位置，所以ColA是Rm的子空间。将A化简为阶梯型，则A 的非零行构成了A的一个行空间。线性变换的核实质上就是线性变换的零空间。向量空间的基使得向量空间的表达更加规范化。由此引申出坐标映射（一对一），由它求出同一个点在相同维度空间但基不同时的不同表达（相当于换了参考系，p239）。秩定理描述了上述三个空间之间的联系。由于自由变量个数与基本变量个数之和为n，故rankA+dimNulA=n。进而发现dimRowA=RankA。至此，我们又可将三个空间的维数与可逆矩阵的关系补充到可逆矩阵定理中去。

矩阵的特征值是矩阵的性质之一。相似的矩阵具有相同的特征多项式，由此引申出矩阵相似（A=PDP-1），可对角化的概念。A有n个线性无关的特征向量是A可对角化的充要条件。这n个线性无关的向量构成了矩阵p的列，n个特征值（含重数）构成了D的对角线元素（详见p283）。当原向量使用了某个坐标变换（基B）时，若再对它施加一个线性变换，此时线性变换的T也要相应地变为[T]，称为T的B-矩阵。若此时还要将它用基C表示，则称T为相对B-和C-的矩阵（求解见p289）。

若内积空间中两向量的内积为0，则称它们是正交的，在欧几里得理解为垂直。正交化是使空间向量走向规范化的重要途径，它将线性无关的向量转化为正交系，要求掌握施密特正交化法（p352）。实际情况下Ax=b通常是不相容的，利用最小二乘法求出它的最小二乘解。

对称矩阵和二次型…