高效反走样圆算法

 

前言: 此算法本来是应试之作,自己写完之后才发现这个算法可能很难被超越,就是说相同反走样效果下几乎不会再有比这更快的,而比这个更快的算法也几乎不可能达到这样的效果.  虽然是个小玩意,不过此算法足以超越目前我在专业期刊上看到的所有反走样圆算法,本来想投到期刊上发表,不过国内的期刊发表周期和审阅制度以及水准实在不敢恭维,索性在这里发布了.希望网友转载注明出处即可.

 

    反走样圆的算法目前并没有公认经典的算法,常见的wu算法、双步圆等反走样算法效果和效率都不够好.这里所采用的算法按照原理来说应该称之为"距离平方差增量算法"比较合适,当然你称之为"汪氏算法"本人更觉受用.下面就详细阐述此算法的原理并提供全部代码.

    此算法是基于"二阶差分中点圆扫描转换算法"1(此为画圆算法)的,算法示意图如下:

 

 

  

 

      为了用增量方法获得像素点到圆弧的距离,我们考虑x或者y没递增/减一个像素的距离变化.

   不失一般性,假设某点距离圆心的距离平方是SD=D*D=x*x+y*y, 考虑x递增单位像素后距离平方记为SDX1:

SDX1=DX1*DX1=(x+1)*(x+1)+y*y.  同理递减以及y方向亦可获得.

现在我们获得的并不是距离增量,要想获得精确的距离必须经过根号计算,代价太高,显然不可取,那样做算法就没有了意义.请看下图:

 

 

我们需要获得d的值,根据面积差可计算:

SDX1-SD=2*d*D-d*d

这里我们可以看到当圆的半径>>1的时候d相对D来说变得很小了,我们用近似值2*d*D代替SDX1-SD.这样,我们获得下列等式:

2*x+1=SDX1-SD=2*d*D

d=(2*x+1)/(2*D) 

精确距离dA=D-sqrt(D*D-x*x-1),绝对误差是: dA-d=D-sqrt(D*D-2*x-1)-(2*x+1)/(2*D).

现在我们可以估算一下假设当前点正好在半径为R=10的圆弧上,则x方向递增单位像素后距离误差为:  10-sqrt(100-2*x-1)-(2*x+1)/20,这里我们取误差可能最大的八分圆连接处的x=1.4142/2.0*10=7.071,代入得:

dA=10-sqrt(100-14.142-1)=0.7881, d=(14.142+1)/20=0.7571 .

绝对误差是 0.031,相对误差是0.031/0.7881=3.93%.

这样的误差显然是可以接受的,而此算法的主体循环只需要计算一次乘法,即用2*X+1乘以1/(2*D),注意1/(2*D)是只需要计算一次的起始点的D,在本算法中D就是R(从x=0,y=R开始).

另外关于反走样中颜色混合(单色显示下即灰度),这个过程大部分是要做乘法运算的,当然你并非一定要做,你可以采用调色版和查表来加快这个过程. 至于如何根据距离来获得灰度或者说透明度(彩色).这取决于你采用何种滤波方式,这里的算法只用线性滤波来转换(请勿和我讨论这个问题,这不是本算法的重点)

      源代码如下:

 

     #define LERP(h,l,a) ((l)+(((h)-(l))*(a))) ##define RGB(r,g,b) ((((unsigned char)(r)|((unsigned short)((unsigned char)(g))<<8))|(((unsigned long)(unsigned char)(b))<<16))) #define GETR(c) ((c) & 0x0000FF) #define GETG(c) (((c) & 0x00FF00)>>8) #define GETB(c) (((c) & 0xFF0000)>>16) #define LERP_COLOR(c1,c2,a) / RGB(LERP(GETR(c1),GETR(c2),(a)),LERP(GETG(c1),GETG(c2),(a)),LERP(GETB(c1),GETB(c2),(a))) inline void put_symmetrical_pixel_circle(int cx,int cy,int x,int y,int crColor,double r) { if(r<0) r=0; if(r>1) r=1; int bk=getpixel(cx+x,cy+y); putpixel(cx+x,cy+y,LERP_COLOR(crColor,bk,r)); bk=getpixel(cx+y,cy+x); putpixel(cx+y,cy+x,LERP_COLOR(crColor,bk,r)); bk=getpixel(cx+y,cy-x); putpixel(cx+y,cy-x,LERP_COLOR(crColor,bk,r)); bk=getpixel(cx+x,cy-y); putpixel(cx+x,cy-y,LERP_COLOR(crColor,bk,r)); bk=getpixel(cx-x,cy-y); putpixel(cx-x,cy-y,LERP_COLOR(crColor,bk,r)); bk=getpixel(cx-y,cy-x); putpixel(cx-y,cy-x,LERP_COLOR(crColor,bk,r)); bk=getpixel(cx-y,cy+x); putpixel(cx-y,cy+x,LERP_COLOR(crColor,bk,r)); bk=getpixel(cx-x,cy+y); putpixel(cx-x,cy+y,LERP_COLOR(crColor,bk,r)); } inline void cg_antialiased_circle(int cx,int cy,int r,int value) { int x=0; int y=r; int d=1-r; int dE=3; int dSE=-(r<<1)+5; int dS=0; double a=1.0/((r<<1)*1.4142); put_symmetrical_pixel_circle(cx,cy,x,y,value,1.0 ); put_symmetrical_pixel_circle(cx,cy,x,y+1,value,1-1.2/1.5 ); put_symmetrical_pixel_circle(cx,cy,x,y-1,value,1-1.2/1.5 ); while(x-1) { dS+=1-(y<<1); y--; } dS+=1+(x<<1); x++; if(x==y) { //å个主è¿æ¥ç¹ double temp=1.0-a*ABS(dS); int bk=getpixel(cx+x,cy+y); putpixel(cx+x,cy+y,LERP_COLOR(value,bk,temp)); bk=getpixel(cx-x,cy+y); putpixel(cx-x,cy+y,LERP_COLOR(value,bk,temp)); bk=getpixel(cx-x,cy-y); putpixel(cx-x,cy-y,LERP_COLOR(value,bk,temp)); bk=getpixel(cx+x,cy-y); putpixel(cx+x,cy-y,LERP_COLOR(value,bk,temp)); // put_symmetrical_pixel_circle(cx,cy,x,y+1,value,1-a*(dS+(y<<1)+1) ); } else //x==y-1 { //å个åå个è¿æ¥ç¹ double temp=1.0+a*(dS-(y<<1)+1); int bk=getpixel(cx+x,cy+x);putpixel(cx+x,cy+x,LERP_COLOR(value,bk,temp)); bk=getpixel(cx-x,cy+x);putpixel(cx-x,cy+x,LERP_COLOR(value,bk,temp)); bk=getpixel(cx-x,cy-x);putpixel(cx-x,cy-x,LERP_COLOR(value,bk,temp)); bk=getpixel(cx+x,cy-x);putpixel(cx+x,cy-x,LERP_COLOR(value,bk,temp)); //å个å¤åè¿æ¥ç¹ temp=1.0-a*(dS+(x<<1)+1); bk=getpixel(cx+y,cy+y);putpixel(cx+y,cy+y,LERP_COLOR(value,bk,temp)); bk=getpixel(cx+y,cy-y);putpixel(cx+y,cy-y,LERP_COLOR(value,bk,temp)); bk=getpixel(cx-y,cy-y);putpixel(cx-y,cy-y,LERP_COLOR(value,bk,temp)); bk=getpixel(cx-y,cy+y);putpixel(cx-y,cy+y,LERP_COLOR(value,bk,temp)); put_symmetrical_pixel_circle(cx,cy,x,y,value,1-a*ABS(dS) ); put_symmetrical_pixel_circle(cx,cy,x,y+1,value,1-a*(dS+(y<<1)+1) ); } }

 

 

        

     

     测试结果:

           每秒可绘制随机半径0-40的每步三像素的反走样圆约50000个.

 

     说明:这里测试用的getpixel和putpixel函数都是对缓冲区的读写,这样可最大限度排除因为平台原因或者所使用的类似读写像素本身操作就很慢的干扰因素,另外千万别和我讨论的问题的是效果最好的反走样算法的问题,效果最好的就是直接计算点到圆弧的精确距离,但是效率很低,要开根号.

 

 

 

       

 

 

参考文献:

    1. 计算机图形学原理及实现(C语言描述)  原著名:Computer Graphics Principles and Practice Second Edition in C . 机械工业出版社 2004,3  P60-62

 

 

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