概率统计分布模型

1.离散概率分布
1)泊松分布
描述是单位时间（面积）内随机事件发生的次数。
【满足条件】
a.平稳性：任意时间区间内，事件发生k次的概率只依赖于区间长度
b.独立性：在不重叠的时间段内，事件的发生是相互独立的
c.小概率事件
【概率函数】

期望和方差均为λ
【应用场景】
a.某一服务设施在一定时间内到达的人数，接待人数
b.电话交换机接到呼叫的次数
c.机器出现的故障数
λ表示随机事件的平均发生率。泊松分布的k表示实际发生次数

在频率附近，时间发生的概率最高，两边对称下降。
2)伯努利分布
有两种可能的结果。1表示成功，出现的概率为p。0表示失败，出现的概率为q=1-p。
【满足条件】
a.一次实验，两种结果
【分布律】

期望为p，方差为p(1-P)
3)几何分布 X ~ G(p)
在n次伯努利试验中，试验k次才得到第一次成功的机率。
【满足条件】
a.伯努利实验
a-1. 每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立;
a-2. 每次实验相互独立，与其它各次试验结果无关
a-3. 事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变。
b.前k-1次都失败，第k次才成功
【概率函数】

期望为，方差为
【应用场景】

4)二项分布 X ~ B(n, p)
重复n次独立的伯努利试验，成功次数为k。
【满足条件】
a.伯努利实验
b.共有n次实验，其中k次成功
【概率函数】

期望为np，方差为np(1-p)
【应用场景】
a.抛硬币结果出现的概率
b.患者治疗后的结局（治愈/未治愈）
5)负二项分布X ~ NB(r, p)
满足伯努利分布，重复实验到出现r次成功为止。
【满足条件】
a.伯努利实验
b.共有k次实验，前k-1次实验成功了r-1次，第k次试验为第r次成功
【概率函数】
，k = r+1, …
期望为r/p，方差为
r = 1时即为几何分布
【应用场景】

6)超几何分布 X ~ H(N, n, M)
不放回抽样。总共N件物品，包含M件指定物品，抽出n个物品中，指定物品为k的概率分布。已经知道某个事件的发生概率，判断从中取出一个小样本，该事件以某一个机率出现的概率问题。
【满足条件】
a.不放回抽样
【概率函数】

期望为，方差为
【应用场景】
a.产品抽检

2.连续型分布
1)均匀分布 X ~ U[a, b]
【满足条件】
【应用场景】
a.投票，每一票具有相同的效力
【概率函数】
离散均匀分布：
连续型的概率密度函数：
期望为(a+b)/2, 方差为
2)正态分布 X ~ N()
【满足条件】
【应用场景】
b.近似服从正态分布的医学现象。比如同性别、同年龄儿童的身高和体重，同性别健康成人的红细胞数、血红蛋白含量、脉搏数等。在这类情形下，利用正态分布可以很容易地确定其数值出现在任意指定范围内的概率，尤其是医学参考值范围的估计。
c.实验中的测量误差一般也是服从正态分布的，利用这一点，可以准确地进行误差分析和质量控制
【概率密度函数】

期望为μ，标准差为σ
3)指数分布X~E()
指数分布是事件的时间间隔的概率。
指数函数具有无记忆性。即当s, t≥0时，有P(T>s+t|T>t) = P(T>s)。即，如果T是某一元件的寿命，已知元件使用了t小时，它总共使用至少s+t小时的条件概率，与从开始使用时算起它使用至少s小时的概率相等。
【满足条件】
【应用场景】
a.表示独立随机事件发生的时间间隔，如旅客进机场的时间间隔，上下班签到的时间间隔，婴儿出生的时间间隔，网站访问的时间间隔。
b.电子产品寿命的分布
c.机器平均故障时间，机器或系统的失效分布模型
【概率密度函数】

λ为单位时间内发生某件事的次数
期望为，标准差为
【分布函数】

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[1]: http://www.ruanyifeng.com/blog/2013/01/poisson_distribution.html http://math.stackexchange.com/
[2]:  
http://baike.baidu.com/link?url=z8OVf79_L3zrRDxfn6BJSK04UC_6-C9CDm1oyYvXtHnqHaTJ9hyehRRHB9YX6UTOtSd6EASSYx-QuI5_923D4a