软件设计师重点难点——关键路径

 

    关键路径这个知识点在软件设计师考试中，是一个难点。
    说到关键路径这个概念，大家应该多少有些印象，可能都知道它是“最长路径”而不是“最短路径”，但说到它为什么是最长路径，提出这个概念的用意何在，它有什么应用，在计算机中关键路径是如何求的等问题却没有几个人能真正搞清楚，甚至书上给出了完整的例子，都有很多人看不懂。下面我先会简单的说明基本概念，然后以一个例子，结合平时希赛教育学员的疑问，对这个知识点进行详细的分析。
　　在AOV网络中，如果边上的权表示完成该活动所需的时间，则称这样的AOV为AOE网络。例如，图1表示一个具有10个活动的某个工程的AOE网络。图中有7个顶点，分别表示事件1～7，其中1表示工程开始状态，7表示工程结束状态，边上的权表示完成该活动所需的时间。

　　下面我们来理解一下关键路径的思想，图1虽节点不多，但是为了让问题变得更为简单、直观，我们画另一个AOE网络，如图2所示。

　　从图2中我们可以看出，关键路路径实际上是从源点到目的地的最长路径。为什么是最长路径呢?因为图中的某些事件是可以并发执行的。如图2所示，当到达V1后，可以同时往V2，V3，V4三个方向走，而V2，V3，V4都有到V k的路径，且长度都为1，并且Vk是终点，则关键路径是V1->V2->V k。因为这条路径最长，只要这条路径到目的地V k时其他的都已经到达V k。而在这条关键路径上的活动a2，a5称为关键活动。

　　为了找出给定的AOE网络的关键活动，从而找出关键路径，先定义几个重要的量：
　　 Ve(j)、 Vl(j) ：顶点j事件最早、最迟发生时间。
　　 e(i)、 l(i)：活动i最早、最迟开始时间。
　　从源点V ₁到某顶点Vj的最长路径长度称为事件Vj的最早发生时间，记为 Ve(j)。 Ve(j)也是以V _j为起点的出边_j，V _k>所表示的活动ai的最早开始时间 e(i)。
　　在不推迟整个工程完成的前提下，一个事件V _j允许的最迟发生时间记为 V_l(j)。显然， l(i) = V_l( j)-(a _i所需时间)，其中j为ai活动的终点。满足条件 l(i) = e(i)的活动为关键活动。
　　求顶点 Vj的 Ve(j)和 Vl(j)可按以下两步来做。
　　（1）由源点开始向汇点递推。

　　其中，E₁是网络中以Vj为终点的入边集合。
　　（2）由汇点开始向源点递推。

　　其中， E₂是网络中以 Vj为起点的出边集合。

　　对于前面的两个概念很多人不能理解：从源点开始到汇点递推以后，我们已经得到了关键路径的长度，按理把这些点记录下来，就得到了关键路径，为什么在此时，还要从汇点到源点进行递推，来求关键路径，这样岂不多此一举？其实不是这样的，一个AOE网络中可能有多条关键路径，若我们只正推过去，只能求得一条关键路径，而不能找出所有的关键路径。
　　要求一个AOE的关键路径，一般需要根据以上变量列出一张表格，逐个检查。例如，求图1所示的求AOE关键路径的过程如表1所示。

　　因此，图1的关键活动为a ₁，a ₂，a ₄，a ₈和a ₉，其对应的关键路径有两条，分别为（V ₁，V ₂，V ₅，V ₇）和（V ₁，V ₄，V ₅，V ₇），长度都是10。

　　其实从学员的疑问可以看出，最关键的问题就在于此表如何填写。首先值得我们注意的一点是，对于顶点的V1，V2等事件，有最早，最迟发生时间；对于边a1，a2，a3，等活动，有最早，最迟开始时间。V e( j)表示的是顶点j的最早发生时间，Vl( j)表示的是顶点j的最迟发生时间，e( i)表示的是活动i的最早开始时间，l( i)表示的是活动i的最迟开始时间。总的来说填这个表有以下四个步骤。
　　 — 由源点开始递推计算出表1-1中的V e( j)列；
　　 — 由V e(7) =10，回算Vl( j)列；
　　 — Vl( j)列算出后用公式l( i) =Vl( j) -（a i所需要的时间）；
　　 — 由l( i) =e( i)找出关键活动，求出关键路径。
　　下面来填写表格，首先我们来填最早发生时间和最早开始时间。
　　因为由源点V1到顶点V2的最长路径长度是3（到V2只有一条路径，长度为3，这个很好判断），所以V2的最早发生时间是3，从V2出发的活动有a4，a5，所以a4，a5的最早开始时间也是3。又比如，到顶点V4的最长路径长度是6，所以V4的最早发生时间是6，从V4出发的活动有a8，a8的最早开始时间也是6，其余的依次类推。
　　最迟发生时间和最迟开始时间要先求出关键路径的长度后，再进行逆推。通过上面求最早发生时间，我们可以求得关键路径长度为10。
　　现在可以开始逆推了。
　　首先由于关键路径长度为10，所以V7的最迟发生时间是10，再看V6，V6到V7有a10，长度为4，所以V6的最迟发生时间是10-4=6，同样V5到V7有a9，长度为3，所以V5的最迟发生时间是10-3=7，依次类推，此项值对应表1中的Vl( j)。
　　接下来求最迟开始时间。
　　V7的最迟开始时间为10，a9，a10都指向V7，a9=3，a10=4，所以a9的最迟开始时间为10-3=7，a10的最迟开始时间为10-4=6。V6的最迟开始时间为6，a7指向V6，a7=3，所以a7的最迟开始时间为6-3=3。此项值对应表1中的l( i)。

　　上面的这个实例是一个难度较高的例子，在我们的实际考试中，难度并没有这么高。下面看一个考试真题。
　　
　　 例题：
　　某工程计划如下图所示，各个作业所需的天数如下表所示，设该工程从第 0 天开工，则该工程的最短工期是     （1）   天，作业 J 最迟应在第    （2）   天开工。　　

　　供选择的答案：
　　（1）A.17        B.18        C.19        D.20
　　（2）A.11        B.13        C.14        D.16
　　试题分析
　　这是一个带权的AOE网。与AOV网不同之处在于，AOE网所关心完成该工程至少需要多少时间，哪些活动是影响整个工程进度的关键。由于AOE网中的某些活动能够并行地进行，所以完成整个工程所需要的时间是从开始顶点到结束顶点的最长路径的长度，称为关键路径。本题的关键路径有两条：（1）Sà2à5à4àD ；(2)Sà2à5àD ，路径的长度均为20 。作业J最迟要在什么时候开工？由于完成作业J后就到了汇点D了，所以要看关键路径多长，J的需要天数是多少。J的最迟开工=20-7=13 。
　　试题答案
　　D  B
　　更多的例题请参看《软件设计师考试试题分类精解》 。