numpy.linalg.svd函数

函数：np.linalg.svd(a,full_matrices=1,compute_uv=1)。

参数：

• a是一个形如(M,N)矩阵

• full_matrices的取值是为0或者1，默认值为1，这时u的大小为(M,M)，v的大小为(N,N) 。否则u的大小为(M,K)，v的大小为(K,N) ，K=min(M,N)。

• compute_uv的取值是为0或者1，默认值为1，表示计算u,s,v。为0的时候只计算s。

返回值：

• 总共有三个返回值u,s,v

• u大小为(M,M)，s大小为(M,N)，v大小为(N,N)。

• A = u*s*v

• 其中s是对矩阵a的奇异值分解。s除了对角元素不为0，其他元素都为0，并且对角元素从大到小排列。s中有n个奇异值，一般排在后面的比较接近0，所以仅保留比较大的r个奇异值。 

例子：

>>> from numpy import *
>>> data = mat([[1,2,3],[4,5,6]])
>>> U,sigma,VT = np.linalg.svd(data)
>>> print U
[[-0.3863177  -0.92236578]
 [-0.92236578  0.3863177 ]]
>>> print sigma
[9.508032   0.77286964]
>>> print VT
[[-0.42866713 -0.56630692 -0.7039467 ]
 [ 0.80596391  0.11238241 -0.58119908]
 [ 0.40824829 -0.81649658  0.40824829]]

因为sigma是除了对角元素不为0，其他元素都为0。所以返回的时候，作为一维矩阵返回。本来sigma应该是由3个值的，但是因为最后一个值为0，所以直接省略了。

关于奇异值的解释：

• 对于方阵而言A=QQ^-1     其中的就是特征向量。但是对于不是方阵的矩阵而言就没有特征向量。
• 非方阵的矩阵可以用奇异值分解来描述这个矩阵。A=UV^T。其中U叫做左奇异值，叫做奇异值，V叫做右奇异值。因为只有对角线的数不为0，并且数值是从大到小排列，所以一般只取r个，r的值越接近A的列数，那么三个矩阵的乘法得到的矩阵越接近A。
• 因为三个矩阵的面积之和远远小于原矩阵A，所以当我们向压缩空间表达A的时候，可以使用这三个矩阵。
• 当A不是矩阵的时候，把A转置变为 A^T。并且。其中的v就是右奇异值。，这里的就是上面的奇异值。，这里的u就是上面的左奇异值。