大话数据结构—栈与队列

栈

一、栈的定义

栈是(stack)是限定尽在表尾进行插入和删除操作的线性表。
栈又称为后进先出（Last In First Out）的线性表，简称LIFO结构。

二、进栈出栈变化形式

注意： 并不是最新进栈的元素只能最后处栈。如，我们现在有三个元素一次进栈，次序会有以下5种：
1. 1、2、2进，再3、2、1出，出栈次序为321；
2. 1进，1出，2进，2出，3进，3出，出栈次序为123；
3. 1进，2进，2出，1出，3进，3出，出栈次序为213；
4. 1进，1出，2进，3进，3出，2出，出栈次序为132；
5. 1进，2进，2出，3进，3出，1出，出栈次序为231。

三、栈的顺序存储结构及实现

（一）栈的顺序存储结构
栈是线性表的特例，栈的顺序存储结构也是线性表存储结构的简化。线性表是用数组实现的，用下标为0的那一端作为栈底使栈变化最小。
我们定义一个top变量来指示栈顶元素在数组中的位置。若存储栈的 长度为StackSize，则栈顶位置top必须小于StackSize。当栈存在一个元素时，top=0.因此，通常把空栈的判定条件定位top=-1.

进栈：push；出栈：pop。（就像子弹的压和弹）。
没有涉及循环，两者的时间复杂度均为1.

两栈共享空间：两个类型相同的栈，则可以共享存储空间。让一个栈的栈底为数组的始端，即下标为0处，另一个栈为数组的末端，即下标为数组长度n-1处。这样，两个栈如果增加元素，就是两端点向中间延伸。两个栈见面之时，也就是两个栈指针相差1，即top1+1==top2为栈满。

（二）栈的链式存储结构
栈的链式存储结构，简称为链栈。
链栈的栈顶和单链表的头指针重合，不需要头结点。
对于链栈来说，不存在栈满的情况，除非内存已经没有可以使用的空间。如果真的发生，就是操作系统已经面临死机崩溃的情况，而不是这个链栈是否真的溢出。
对于空栈来说，链表原定义是头指针指向空，那么链栈的空其实就是top=NULL的时候。

对比顺序栈和链栈，它们在时间复杂度上是一样的，均为O(1)。对于空间性能，顺序栈要事先确定一个固定的长度，可能会存在内存空间浪费的问题，但它的优势是存取时定位很方便，而链栈则要求每个元素都有指针域，这同时也增加了一定的内存开销，但对于栈的长度无限制。所以它们的区别和线性表中讨论的一样，如果栈的使用过程中元素变化不可预料，有时候很小，有时候很大，那么最好是用链栈，如果它们的变化在可控范围内，建议使用顺序栈会更好一些。

四、栈的作用

有的人可能会问，用数组或链表直接实现功能不就行了吗？为什么还要引入栈这个数据结构呢？
其实这和我们明明有两只脚可以走路，干嘛还要乘汽车、火车、飞机一样。理论上，陆地上的任何地方，你都是可以用双脚走到的，可那需要多长时间和精力呢？我们更关注的是到达而不是如何去的问题。
栈的引入简化了程序设计的问题，划分了不同关注层次，使得思考范围缩小，更加聚焦于我们要解决的核心问题。反之，像数组等，因为要分散精力去考虑数组下标的增减问题，反而掩盖了问题的本质。
所以，现在的许多高级语言，比如Java，C#等都有对栈结构的封装，你可以不关注它的实现细节，就可以直接使用Stack的push和pop方法，非常方便。

五、栈的应用

（一） 递归
斐波那契数列
（二）四则运算表达式求值
后缀（逆波兰）表示法：从左到右遍历表达式的每个数字和符号，遇到是数字就进栈，遇到是符号，就将处于栈顶两个数字出栈，进行运算，运算结果进栈，一直到最终获得结果。
中缀表示法：从左到右遍历中缀表达式的每个数字和符号，若是数字就输出，即成为中缀表达式的一部分；若是符号，则判断其与栈顶符号的优先级，是右括号有优先级不高于栈顶符号（乘除有限加减）则栈顶元素依次出栈并输出，并将当前符号进栈，直到最终输出后缀表达式为止。

队列

一、队列定义

队列（queue）是只允许在一端进行插入操作，而在另一端进行删除操作的线性表。
队列是一种先进先出（First In First Out）的线性表，简称FIFO。允许插入的一端称为队尾，允许删除的一端称为队头。

二、队列的抽象数据类型

同样是线性表，队列也有类似线性表的各种操作，不同的就是插入数据只能在队尾进行，删除数据只能在队头进行。

三、循环队列

队列也有线性表的两种存储方式：顺序存储和链式存储。
入队操作是在队尾增加一个元素，时间复杂度为O(1)。但是，出队时，如果规定队列中的元素都放在前n个位置，则第一个元素出队后，后面的元素都要向前移动，以保证对头不为空，也就是下标为0的位置不为空，此时时间复杂度为O(n)。
但是，我们可以想，如果没有队列的元素都必须放在前n个位置的规定，出队的性能就会大大增加。于是，我们因为两个指针，front指向对头元素，rear指针指向队尾的下一个元素，当front==rear，队列为空。这样，当出队时，只需移动front指针即可。但是，这样也会有一个问题，一个队列不可能只有出队，当继续进行入队操作致使队尾已经填满，rear指针指向队列外时，继续入队就可能产生数组越界的错误。但是，由于前面已经进行过出队操作，所以这个队列前面会有空位置，这种现象称为“假溢出”。这里举个例子，现实生活中，当你上了一辆公交车，发现前面有两个空位置，但后排的座位都已经满了。这是，你不会告诉自己，后面没座了，立马下车，等待下一辆。我们都不会这么笨，而都会坐在前面的位置。
这时，就引入了循环队列的概念。循环队列就是首尾相接的顺序存储结构。
那么，问题又来了，前面提到当front==rear时，队列为空，但在循环队列中，这个结论显然不成立。所以，如何判断队列是空还是满呢？以下给出两种方法：
1. 设置一个标志变量flag，当front==rear，且flag=0时队列为空，当front==rear，且flag=1时队列满。
2. 当队列空时，条件就是front=rear，当队列满时，我们修改条件，保留一个元素空间。也就是说，队列满时，数组中还有一个空闲单元。
我们来重点讨论第二种方法，由于rear可能比front大，也可能比front小，所以它们只相差一个位置时就是满的情况，但也可能是相差整整一圈。所以，若队列的最大尺寸是QueueSize，那么队满的条件是（rear+1）%QueueSize==front（取模%的目的就是为了整合front和rear大小为一个问题）
通用的计算队列长度的公式为（rear-front+QueueSize）%QueueSize
循环队列的相关条件和公式：
1. 队空条件：rear==front
2. 队满条件：(rear+1) %QueueSIze==front，其中QueueSize为循环队列的最大长度
3. 计算队列长度：（rear-front+QueueSize）%QueueSize
4. 入队：（rear+1）%QueueSize
5. 出队：（front+1）%QueueSize
到这里，大家可以发现，但是顺序存储，若不是循环队列，算法的时间性能是不高的，但循环队列有面临着数组可能会溢出的问题，所以我们还需要研究一样不需要担心队列长度的链式存储结构。

四、队列的链式存储结构及实现

队列的链式存储结构，其实就是线性表的单链表，只不过它只能尾尽头出而已，称为链队列。将队头指针指向链队列的头结点，队尾指针指向终端结点。
空队列是，front和rear都指向头结点。
入队操作：就是在链尾插入结点。
出队操作，就是头结点的后继结点出队，将头结点的后继改为它后面的结点，若链表除头结点外只剩一个元素时，则需将rear指向头结点。

对比循环队列和链队列，时间上，其实它们基本操作都是常数时间，即都为O(1)的。不过循环队列是事先申请好空间，使用期间不释放，而对于链队列，每次申请和释放结点也会存在一些时间开销，如果入队出队频繁，则两者还是存在细微差异。对于空间上来说，循环队列不存在这个问题，尽管它需要一个指针域，会产生一些空间上的开销，但也可以接受。所以在空间上，链队列更加灵活。
总的来说，在可以确定队列长度最大值的情况下，建议使用循环队列，如果无法预估队列长度，则用链队列。