Leo的次幂运算——算法笔记

题目描述：

Leo是某个人的粉丝，所以她很喜欢7这个数字。
这天她心血来潮，想对7进行次幂运算。
Leo又是个想法独特的人，她想对7进行无数次幂运算，即计算7⁽⁷(7⁷(…7)))
即如图所示，假设图中有无数个7
但是这样很显然，得到的是一个很大的数字，所以请你把这个数字对p取模，并告诉她结果。

输入：

第一行为数字t，表示有t组数据 （t<=1000）
接下来的t行，每行给出一个数字p，表示取模的数字。(p<=1e7）

输出：

每组数据输出一行，表示7的无数次幂对p取模后的数字。

样例输入：

2
1234
5678

样例输出：

327
471

这个题首先想到的是快速幂，但奈何数据太大，快速幂也拯救不了。搜索一下有关题目，发现有一种欧拉降幂的东西可以用。至于为什么要这么用，我也不知道，反正能解决问题。这里有欧拉函数的两种求法：https://blog.csdn.net/weixin_43207025/article/details/90574851
知道了欧拉降幂这个定理后，这题就非常容易了。
欧拉降幂公式： 降幂公式中 φ() 为欧拉函数
参考代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <vector>
#include <stack>
#include <queue>
#include <map>
#include <set>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;

#define INF 0x3f3f3f
#define ll long long
#define clean(arrays) memset(arrays, 0, sizeof(arrays))

//快速幂算法
ll quick_pow(ll a, ll b, ll mod)
{
    ll base = a % mod;
    ll ans = 1;
    while (b)
    {
        if (b & 1) {
            ans = ans * base % mod;
        }
        base = base * base % mod;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

//欧拉函数直接筛选
long long direct_phi(long long x)
{
    long long ans = x;
    for (int i = 2; i * i <= x; i++)
    {
        if (x % i == 0)
        {
            ans = ans - ans / i;    // 这个对应的就是欧拉函数的通式
            while(x % i == 0){      // 完全筛去 i 因子，确保下一个得到的 i 是 n 的素因子
                x = x / i;
            }
        }
    }
    if (x > 1) {        // 为了保证防止未除掉的素因子出现
        ans = ans - ans / x;
    }
    return ans;
}


ll dfs(ll x)
{
    if (x == 1)		//模为 1 时，取模为 0
        return 0;
    ll ph = direct_phi(x);
    return quick_pow(7, dfs(ph) + ph, x);
}

int main()
{
    int t;
    cin >> t;
    while (t--)
    {
        ll a;
        cin >> a;
        cout << dfs(a) << endl;
    }
    return 0;
}