KD-Tree 算法的 C++ 实现

阅读本文前，建议查阅相关资料，了解 KNN 算法与 KD 树。

基础知识

如图所示，假设一个点 a 目前的最近邻点为 b，如果存在相对于 b 离 a 更近的点，那么这个点一定在以 a 为圆心，ab 为半径的圆内。
现右侧的区域是未知的，如果 a 到分界线的距离 l 大于目前的最近距离 L（圆半径），则没有必要在右侧的未知区域继续寻找最近邻点（如图一），反之，则要继续寻找（如图二）。
相应的，投射到多维空间，假如切分边界为第 i 维，切分点的值为 v（标量），当前最近邻点为 y（向量），如果目标点 x（向量） 到切分边界的距离 |x[i] - v| 满足以下关系

时，需要在另一侧继续搜索。

通常地，一个机器学习算法分为 fit 和 predict 两个阶段，基于线性搜索的 KNN 是一种惰性算法，它将全部的计算任务放到了 predict 阶段，predict 的时间复杂度为 O(n)，KD 树之所以比线性搜索快，就是因为它将一部分任务放到了 fit（建立 KD 树） 阶段，从而在搜索时可以略去大量不必搜索的结点（最优情况下时间复杂度为 O(1)）。
上面说的比较简单，关于 KNN 算法和 KD 树的详细内容，请参考李航博士的《统计学习方法》。

代码

我们给出部分关键性的代码。

基本数据结构

• 训练集用一个一维数组 double *data 表示，它的长度为 n_samples * n_features，标签集也用一个一维数组 double *labels 表示，它的长度为 n_samples。
• 树的结点用以下数据结构表示
  cpp
struct tree_node
{
size_t id; // 表示训练集中的第 i 个数据
size_t split; // 切分的维度
tree_node *left, *right; // 左、右子树
};

• 一个 KD 树的模型可用以下结构表示
  cpp
struct tree_model
{
tree_node *root; // 根结点
const double *datas; // X
const double *labels; // y
size_t n_samples; // 样例数
size_t n_features; // 每个样例的特征数
double p; // 距离度量
};


• 求 K-近邻时需要用到大顶堆，我们直接用 C++ 的优先队列来表示，堆内现有的 n(n <= k) 个近邻点中，距离测试点最远的在堆顶

  struct neighbor_heap_cmp {
    bool operator()(const std::tupledouble> &i, 
                    const std::tupledouble> &j) {
          return std::get<1>(i) < std::get<1>(j);
      }
  };
  
  typedef std::tupledouble> neighbor;
  typedef std::priority_queuestd::vector, neighbor_heap_cmp> neighbor_heap_;
  
  neighbor_heap k_neighbor_heap_;

KD-Tree 类

我们用类 KDTree 表示一个 KD 树类，它应该具有的功能有建树和搜索。

//（简化的代码，完整的代码详见最后）
class KDTree {
public:
    // 建树
    KDTree(const double *datas, const double *labels, size_t rows, size_t cols, double p)
    // 返回树
    tree_node *GetRoot() { return root; }
    // 求一个测试点的 k 邻
    std::vector<std::tupledouble>> FindKNearests(const double *coor, size_t k);
private:
    tree_node *root_;
}

寻找切分维和切分点

在建树之前，我们还要考虑如何选择切分维度和切分点。切分维度的选择有许多，一般的，可以取 dim = floor % n_features，即当前树的层数对特征数取余，我们在这里使用 dim = argmax(nmax - nmin)，即选取当前结点集合中极差最大的维度。

（这里是不完整的代码，有些工具函数的定义请详见完整源代码）
size_t KDTree::FindSplitDim(const std::vector &points) {
    if (points.size() == 1)
        return 0;
    size_t cur_best_dim = 0;
    double cur_largest_spread = -1;
    double cur_min_val;
    double cur_max_val;
    for (size_t dim = 0; dim < n_features; ++dim) {
        cur_min_val = GetDimVal(points[0], dim);
        cur_max_val = GetDimVal(points[0], dim);
        for (const auto &id : points) {
            if (GetDimVal(id, dim) > cur_max_val)
                cur_max_val = GetDimVal(id, dim);
            else if (GetDimVal(id, dim) < cur_min_val)
                cur_min_val = GetDimVal(id, dim);
        }

        if (cur_max_val - cur_min_val > cur_largest_spread) {
            cur_largest_spread = cur_max_val - cur_min_val;
            cur_best_dim = dim;
        }
    }
    return cur_best_dim;
}

选择完切分维 k 之后，我们需选取当前结点集合中的结点在第 k 维的值的中位数 x 作为切分点的值，除去该点之外的点，第 k 维的值小于等于 x 的，放入左子树，反之放入右子树。
在求中位数时，不要全排序，然后取中间的点，可以采用类似快排的方法，找到中位数时就停止排序，这里我们就不写算法了，直接用 C++ 的函数。

std::tupledouble> KDTree::MidElement(const std::vector &points, size_t dim) {
    size_t len = points.size();
    for (size_t i = 0; i < points.size(); ++i)
        get_mid_buf_[i] = std::make_tuple(points[i], GetDimVal(points[i], dim));
    std::nth_element(get_mid_buf_,
                     get_mid_buf_ + len / 2,
                     get_mid_buf_ + len,
                     [](const std::tupledouble> &i, const std::tupledouble> &j) {
                         return std::get<1>(i) < std::get<1>(j);
                     });
    return get_mid_buf_[len / 2];
}

建树

建树直接按照建立二叉树的方法即可

tree_node *KDTree::BuildTree(const std::vector &points) {
    size_t dim = FindSplitDim(points);
    std::tupledouble> t = MidElement(points, dim);
    size_t arg_mid_val = std::get<0>(t);
    double mid_val = std::get<1>(t);

    tree_node *node = Malloc(tree_node, 1);
    node->left = nullptr;
    node->right = nullptr;
    node->id = arg_mid_val;
    node->split = dim;
    std::vector left, right;
    for (auto &i : points) {
        if (i == arg_mid_val)
            continue;
        if (GetDimVal(i, dim) <= mid_val)
            left.emplace_back(i);
        else
            right.emplace_back(i);
    }
    if (!left.empty())
        node->left = BuildTree(left);
    if (!right.empty())
        node->right = BuildTree(right);
    return node;
}

搜索 K-近邻的规则

一般书上所讲的都是搜索最近邻，但是我们这里是搜索 K-近邻，需要对书上的算法做少许的扩充。
搜索最近邻时，我们一般设置两个变量 cur_min_id 和 cur_min_dist，如果当前搜索到的点到测试点的距离 l < cur_min_dist 时，我们将上述两个变量更新为新点的 id 和 dist。
相应的，在搜索 K-近邻时，我们可以设置一个最多有 k 个元素的大顶堆，这样，在搜索时，当堆满时，只需比较当前搜索点的 dist 是否小于堆顶点的 dist，如果小于，堆顶出堆，并将当前搜索点压入，反之，则不变；当堆未满时，直接将该搜索点压入。

搜索 K-近邻的算法

我们直接使用二叉树深度优先遍历的非递归算法（具体的描述详见《统计学习方法》第 43 页算法 3.3）。

std::vector<std::tupledouble>> KDTree::FindKNearests(const double *coor, size_t k) {
    std::memset(visited_buf_, 0, sizeof(bool) * n_samples);
    std::stack paths;
    tree_node *p = root;

    while (p) {
        HeapStackPush(paths, p, coor, k);
        p = coor[p->split] <= GetDimVal(p->id, p->split) ? p = p->left : p = p->right;
    }
    while (!paths.empty()) {
        p = paths.top();
        paths.pop();

        if (!p->left && !p->right)
            continue;

        if (k_neighbor_heap_.size() < k) {
            if (p->left)
                HeapStackPush(paths, p->left, coor, k);
            if (p->right)
                HeapStackPush(paths, p->right, coor, k);
        } else {
            double node_split_val = GetDimVal(p->id, p->split);
            double coor_split_val = coor[p->split];
            double heap_top_val = std::get<1>(k_neighbor_heap_.top());
            if (coor_split_val > node_split_val) {
                if (p->right)
                    HeapStackPush(paths, p->right, coor, k);
                if ((coor_split_val - node_split_val) < heap_top_val && p->left)
                    HeapStackPush(paths, p->left, coor, k);
            } else {
                if (p->left)
                    HeapStackPush(paths, p->left, coor, k);
                if ((node_split_val - coor_split_val) < heap_top_val && p->right)
                    HeapStackPush(paths, p->right, coor, k);
            }
        }
    }
    std::vector<std::tupledouble>> res;

    while (!k_neighbor_heap_.empty()) {
        res.emplace_back(k_neighbor_heap_.top());
        k_neighbor_heap_.pop();
    }
    return res;
}

完整代码

详见 https://github.com/WiseDoge/libkdtree
完整代码中除了 KD-Tree 的代码外，还给出了测试代码和 Python 接口代码，以及一些调用第三方库来加速的手段。