【LeetCode】279.完全平方数 (Perfect Squares) 动态规划/四平方和定理

题目描述

给定正整数 n，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, …）使得它们的和等于 n。你需要让组成和的完全平方数的个数最少。

示例1：

输入: n = 12
输出: 3
解释: 12 = 4 + 4 + 4.

示例2：

输入: n = 13
输出: 2
解释: 13 = 4 + 9.

---

解决方法

方法一：动态规划

dp[i] 里保存 i 的最少完全平方数个数。
对于 n ，dp[n] = 1 + dp[n - t²] ，t² 为不大于 n 的完全平方数，遍历满足条件的 t ，最小值为 dp[n]。

实现代码：

class Solution
{
public:
	int numSquares(int n)
	{
		vector<int> dp(n + 1);
		int top = 1;
		for (int i = 1; i <= n; i++)
		{
			if (i == (top + 1) * (top + 1))
				top++;

			dp[i] = 1 + dp[i - top * top];
			for (int j = top - 1; j >= 1; j--)
				dp[i] = min(dp[i], 1 + dp[i - j * j]);
		}

		return dp[n];
	}
};

方法二：四平方和定理

Lagrange 四平方和定理： 任何一个正整数均可表示为4个整数的平方和。
重要推论： 满足四平方和定理的数 n （必须由四个数构成），必定满足 n = 4^a(8b + 7) 。

有定理可知，结果只有 “1、2、3、4” 四种可能。依次判断下列情况：
（1）ans = 4 ，判断是否满足推论；（在此过程中，以 4 的倍数缩小 n ，并不影响最后结果）
（2）ans = 1 ，判断缩小后的 n 是否为平方数；
（3）ans = 2 ，判断缩小后的 n 是否可以由两个平方数构成；
（4）ans = 3， 以上都不满足，则结果为 3。

实现代码：

static const auto ioSyncOff = []()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr);
	return 0;
}();

class Solution
{
public:
	int numSquares(int n)
	{
		while (n % 4 == 0)
			n /= 4;

		if (n % 8 == 7)
			return 4;

		if (isSquare(n))
			return 1;

		for (int i = sqrt(n); i >= 1; i--)
		{
			if (isSquare(n - i * i))
				return 2;
		}

		return 3;
	}

	inline bool isSquare(int n)
	{
		int t = sqrt(n);
		return t * t == n;
	}
};