莫比乌斯函数的证明

遗忘是可怕的东西……好记性不如烂笔头讲真……

命题

现在假设我不知道什么是莫比乌斯函数，只知道

F(x)=∑d∣xf(d)

若已知 F(x) ，求 f(x) 的表达式。

性质

从已知的关系，可以得到性质：
1. 若 y|x(y<x) ，则 F(y) 包含的所有 f(d) 都被 F(x) 包含了， F(y) 不能包含 f(x)
2. 包含 f(x) 的最小项是 F(x)

构造

记 x 的第 i 小的约数是 yi(yi<x) ，共有 k 个约数，则

f(x)=F(x)−∑1≤i≤kf(yi)

由于左边的 f(x) 是一次的，所以右边是 F(yi) 的线性组合，设 ai 作为 F(yi) 的系数，即

f(x)=F(x)+∑1≤i≤kaiF(yi)=F(x)+∑1≤i≤kbif(yi)

可知所有的 bi=−1 .现在即要求解 ai .

从 yk ，即 x 的最大真约数开始解，只有 F(yk) 包含了 f(yk) ，可得 ak=−1 。同时对所有 f(yk的约数) 前的系数都贡献-1。
再看 yk−1 ，如果 f(yk−1) 前的系数已经被贡献了-1，则 ak=0 ，看下一个约数；否则要令 当前的贡献值+ak−1=−1 ，由此确定 ak−1

举例

举个例子： x=180,{yi}={1,2,3,4,5,6,9,10,12,15,18,20,30,36,45,60,90}
先确定90的系数 a17 为-1，前面是90的约数的系数添上-1；
再看60的列和为0，故 a16 为-1，前面是6的约数的系数添上-1；
再看45的列和为-1，故 a15 为0；
……
直到所有系数都确定如下表：使得每列之和都为-1，即 f(yi) 前的系数都为-1

yi	1	2	3	4	5	6	9	10	12	15	18	20	30	36	45	60	90
a17	-1	-1	-1	0	-1	-1	-1	-1	0	-1	-1	0	-1	0	-1	0	-1
a16	-1	-1	-1	-1	-1	-1	0	-1	-1	-1	0	-1	-1	0	0	-1	0
a15	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
a14	-1	-1	-1	-1	0	-1	-1	0	-1	0	-1	0	0	-1	0	0	0
a13	+1	+1	+1	0	+1	+1	0	+1	0	+1	0	0	+1	0	0	0	0
a12	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
a11	+1	+1	+1	0	0	+1	+1	0	0	0	+1	0	0	0	0	0	0
a10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
a9	+1	+1	+1	+1	0	+1	0	0	+1	0	0	0	0	0	0	0	0
a8	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
a7	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
a6	-1	-1	-1	0	0	-1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
a5	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
a4	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
a3	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
a2	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
a1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

朴素证明

逐步求解的过程比较长，有没有什么关于 ai 的性质呢？

假设已经现在正在求 ai ，其列和由已经确定的 aj(j>i) 决定，且只有当 yi|yj 时，才会对 f(yi) 做非零标记。
设 p 为素数，若 xyi=p ，则说明没有满足的 j ，确定 ai=−1 ；
若 xyi=p1p2 ，则有 xyj=p1或p2的yj 已经先行对 f(yi) 做了两次-1标记，则确定 ai=+1 ；
若 xyi=p1p2...ps ，则已有标记为

−C1s+C2s−C3s...+(−1)s−1Cs−1s

=∑i=0sCis(−1)i−C0s−(−1)sCss

=(1−1)s−1−(−1)s

=−1−(−1)s

则确定 ai=(−1)s ；
若 xyi=pv11pv22...pvss且至少有一个v大于1 ，则已有标记为

−C1s+C2s−C3s...+(−1)sCss

=∑i=0sCis(−1)i−C0s

=(1−1)s−1

=−1

则确定 ai=0

由此可以确定

f(x)=F(x)+∑1≤i≤kaiF(yi)

所有的系数 ai 如下：

ai={(−1)s0xyi=p1p2...ps,其中ps为不同的素数xyi=pv11pv22...pvss且至少有一个v大于1

把 F(x) 前的系数1也统一起来，定义莫比乌斯函数

μ(d)=⎧⎩⎨1(−1)r0d = 1d=p1p2...pr,其中pi为不同的素数else

原式写为

f(x)=∑d∣xμ(xd)F(d)

或

f(x)=∑d∣xμ(d)F(xd)

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构造性证明

如果已经构造好了莫比乌斯函数，证明只会更简单(T.T)

已知 F(x)=∑d∣xf(d) ，求证 f(x)=∑d∣xμ(d)F(xd)

证明： ∑d∣xμ(d)F(xd)=(1)∑d∣x[μ(d)∑k∣xdf(k)]=(2)∑k∣x[f(k)∑d∣xkμ(d)]=(3)f(x)

(1). xd 作为整体，代入定义式
(2). 两边都为 ∑kd∣xf(k)μ(d) ，左边提了 μ(d) 为公因子，右边提了 f(k) 为公因子，继续求和
(3). 令 x=pv11pv22...pvss ，给定k，则d为 xk 的约数。
当 xk≠1 ，则d的取值为 pa11pa22...pass(ai≤vi,ai不同时为0) ，若有任何的 ai>1 则 μ(d)=0 ，故只需考虑 ai为0或1 。 ai组成的解向量(a1,a2,...,as)中有(...,0,...),(...,1,...) 若省略的部分相同，这两者总是成对出现的，使得 ∑ai 的奇偶性恰好相反，即有 μ(d1)=1 ，就有 μ(d2)=−1 ，两者和为0。得到当 xk≠1,∑d∣xkμ(d)=0 .
只有当 xk=1,∑d∣xkμ(d)=1 .

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鸡冻ing…终于写完了….