从二维向量跟虚数的区别到欧拉公式,复指数函数

正如我们所知道的,二维向量和虚数都可以写为[a,b]这样子的形式,在平面坐标和复平面都可以都有一个点与之对

应,他们之间是一样的吗?

二维向量的两个数是完全独立变量,两者之间没有什么关系,向量的含义比较丰富,可以表示两个无关的东西在各

自的维度上的组成,比如对一个人的描述可以是[男,180cm]等。

虚数的两个数的虚轴和实轴之间存在着i*i=-1的关系,对虚数最直观在我看来也最合理的解释是虚数代表平面的旋转

,注意是旋转(还有一个伸长或缩短),不是旋转的物体,旋转的向量可以用二维向量来表示。比如工科信号与系

统的第一个重点的信号,如下所示:

  • 欧拉公式:formula
  • x就是旋转的角度,初始的旋转为长度A,角度为θ1,即Acosθ1+A*i*sinθ=Ae^iθ,一个向量[1,0](1*e^i0)想旋转θ角
  • ,并且长度扩大A倍,那就用i*e^i0乘以Ae^iθ,得到Ae^iθ,大家看看是不是“旋转θ角,并且长度扩大A倍”。
  • 到这里有人可能会问,那么空间的旋转呢?这就是四元数来解决了,这块我不懂就不乱说了。
  • 从二维向量跟虚数的区别到欧拉公式,复指数函数_第1张图片
关于欧拉公式(听说是宇宙第一耍帅公式):稍微仔细思考下欧拉公式都会觉得不可思议,e的虚数次方????什么
鬼????脑洞打开啊。
欧拉公式的证明是由e^x的幂级数展开,然后以ix代x,将虚数和实数部分分别展开,对比虚数和实部部分恰好是sinx,
cosx的幂级数展开。
具体式子可以有:https://wenku.baidu.com/view/053194ba8762caaedd33d4f0.html
关于在信号与系统中复指数信号X(t)=e^jwt中wt就是欧拉公式中的θ,θ是旋转的角度,θ=wt,w就是角速度,t是时间。
有一个图可以直观理解,如下,为什么是三维,复平面是两维的,时间是一维,e^iθ是单位圆上的角度,当这个角度
随着时间变化的时候,就是画圆,当画出t,就出现了如下的弹簧的形状。看了这些,应该就会对e的虚数次方这个鬼
东西有更好的理解了。

  • 以上的图片来自文章:错过这篇文章,可能你这辈子不懂什么叫傅里叶变换了

  • 关于虚数代表旋转效果的请看:https://betterexplained.com/articles/a-visual-intuitive-guide-to-imaginary-numbers/
  • 以上是本人看一本数学科普书《无言的宇宙(universe in zero words)》感想。

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