从二维向量跟虚数的区别到欧拉公式，复指数函数

正如我们所知道的，二维向量和虚数都可以写为[a,b]这样子的形式，在平面坐标和复平面都可以都有一个点与之对

应，他们之间是一样的吗？

二维向量的两个数是完全独立变量，两者之间没有什么关系，向量的含义比较丰富，可以表示两个无关的东西在各

自的维度上的组成，比如对一个人的描述可以是[男，180cm]等。

虚数的两个数的虚轴和实轴之间存在着i*i=-1的关系，对虚数最直观在我看来也最合理的解释是虚数代表平面的旋转

，注意是旋转（还有一个伸长或缩短），不是旋转的物体，旋转的向量可以用二维向量来表示。比如工科信号与系

统的第一个重点的信号，如下所示：

• 欧拉公式：
• x就是旋转的角度，初始的旋转为长度A，角度为θ1，即Acosθ1+A*i*sinθ=Ae^iθ，一个向量[1,0](1*e^i0)想旋转θ角
• ，并且长度扩大A倍，那就用i*e^i0乘以Ae^iθ，得到Ae^iθ，大家看看是不是“旋转θ角，并且长度扩大A倍”。
• 到这里有人可能会问，那么空间的旋转呢？这就是四元数来解决了，这块我不懂就不乱说了。
• 
  

关于欧拉公式（听说是宇宙第一耍帅公式）：稍微仔细思考下欧拉公式都会觉得不可思议，e的虚数次方？？？？什么

鬼？？？？脑洞打开啊。

欧拉公式的证明是由e^x的幂级数展开，然后以ix代x，将虚数和实数部分分别展开，对比虚数和实部部分恰好是sinx，

cosx的幂级数展开。

具体式子可以有：https://wenku.baidu.com/view/053194ba8762caaedd33d4f0.html

关于在信号与系统中复指数信号X(t)=e^jwt中wt就是欧拉公式中的θ，θ是旋转的角度，θ=wt，w就是角速度，t是时间。

有一个图可以直观理解，如下，为什么是三维，复平面是两维的，时间是一维，e^iθ是单位圆上的角度，当这个角度

随着时间变化的时候，就是画圆，当画出t，就出现了如下的弹簧的形状。看了这些，应该就会对e的虚数次方这个鬼

东西有更好的理解了。

• 以上的图片来自文章：错过这篇文章，可能你这辈子不懂什么叫傅里叶变换了

• 关于虚数代表旋转效果的请看：https://betterexplained.com/articles/a-visual-intuitive-guide-to-imaginary-numbers/
• 以上是本人看一本数学科普书《无言的宇宙（universe in zero words）》感想。