HDU1576 A/B(扩展欧几里得)

要求(A/B)%9973，但由于A很大，我们只给出n(n=A%9973)(我们给定的A必能被B整除，且gcd(B,9973) = 1)。
Input
数据的第一行是一个T，表示有T组数据。
每组数据有两个数n(0 <= n < 9973)和B(1 <= B <= 10^9)。
Output
对应每组数据输出(A/B)%9973。
Sample Input
2
1000 53
87 123456789
Sample Output
7922
6060

#include

int GCD;

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    GCD=exgcd(b,a%b,x,y);//return就是return到这一步的下一步；保存最大公约数（即最后一步的a）用来求一般解(一般解就是等于号右边为n，不是通解)，x=x1*(n/GCD) 
    int t=x;
    x=y;
    y=t-(a/b)*y;
}

int main()
{
    int t,b,n,x,y;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&b);
        exgcd(b,9973,x,y);
        x=x*n;
        printf("%d\n",((x%9973)+9973)%9973);//如果x为负则转换为最小的正数，如果为正这样转换还是会转换为最小的正数啦 
    }
    return 0; 
}

（自己写的推导在挑战程序设计116）

扩展欧几里得理解为对于两个不全为0的整数a,b，必存在一组解x,y使得
ax+by==gcd(a,b)

x1,y1记作上一步的解，那么下一步的解x=y1，y=x1-(a/b)*y1;

特解：x,y;

求（特解的）一般解：
求符合ax+by==n的解x2,y2:
x2=x*(n/gcd(a,b));
y2=y*(n/gcd(a,b));

懵了吧？gcd(a,b)等于多少？？注意就是代码里的GCD，GCD的作用就在这。
因为本题gcd(b,9973)==1,所以记录不记录都没关系~（x2=x*n/1，y2=y*n/1）；

求通解：
神马是通解？

就是高中解一元二次方程y=kx+b，给你一组x,y（特解），你可以求出k和b（比如k=2,b=3），那么y=2x+3就是通解，x=(y-3)/2就是通解；(通解就是这条函数上的所有点)

通解x3,y3怎么求：

GCD还是代码中的GCD表示gcd(a,b)，a,b的最大公约数；

x3=x2+b/(d*t);
y3=y2-a/(d*t);
(是x2,y2吧？应该是)
呐，t为任意常整数。

栗……子：
ax+by=3//这是对照~
3x+0y=3 x2=1,y2=0;//if(b==0) return;①
6x+3y=3 x1=y2=0,y1=x2-(a/b)*y2=1-(6/3)*0=1;
9x+6y=3 x0=y1=1,y0=x1-(a/b)*y1=0-(9/6)*1=-1；

呐，这样9x+6y=3的一组解就找到了 是x0=1,y0=-1。

神马？没看懂？？

递推..当然是从下往上看啦~

辗转相除法其实就是：

a b

---

b a%b

(a转换为上一步的b，b转换为上一步的a%b)

嗯。暂就酱，关于通解还没有做题应用，以后再补充叭。

补充：
①为什么最后当b==0时的解是x=1,y=0：
ax+by==gcd(a,b)
然后b为0了
ax+by==gcd(a,0)==a//（你看我也不懂为什么gcd(a,0)==a ②）
解叭解叭。

②为什么gcd(a,0)==a？：
0除以任何一个数都得0 可以整除
所以0与一个数的最大公约数是这个数本身