The 2019 ICPC Asia-East Continent Final A-City

Problem A: City

时间限制：C/C++ 1秒，其他语言2秒
空间限制：C/C++ 262144K，其他语言524288K

题目描述

Hi ICPCer, welcome to Xi’an.
Being a beautiful ancient city, Xi’an is the capital city of Zhou, Qin, Han, and Tang Dynasties. With a long history, the streets in Xi’an have a grid pattern.
Attracted by the streets’ structure, Coach Pang would like to conduct his research on them. He draws an n×m grid on the board. The grid consists {n+1}n+1 vertical line segments and {m+1}m+1 horizontal line segments. The vertical and horizontal line segments intersect at exactly (n+1)×(m+1) points, forming n×m unit squares. We call the (n+1)×(m+1) intersections grid points. Output the number of line segments(not only vertical or horizontal) l satisfying the following three conditions:
1.The length is not zero.
2.Both endpoints of l are grid points.
3.The midpoint of l is a grid point.
中文翻译
你好 ICPCer，欢迎来到西安。
西安是一座美丽的古城，是周、秦、汉、唐的都城。西安历史悠久，街道呈网格状。
庞教练被街道的结构所吸引，想对街道进行研究。他在黑板上画了一个n×m的网格。网格由{n+1}n+1条垂直线段和{m+1}m+1条水平线段组成。垂直线段和水平线段正好在（n+1）×（m+1）点相交，形成n×m单位正方形。我们称之为（n+1）×（m+1）交点网格点。输出满足以下三个条件的线段数（不仅是垂直线段或水平线段）l：
1.长度不为零。
2.l 的两个端点都是网格点。
3.l 的中点是网格点。

输入描述:

The only line contains two integers n,m(1≤n,m≤1000).

输出描述:

Print the answer in a single line.

示例1

输入

1 1

输出

0

示例2

输入

2 3

输出

14

分析

• 乍一看是一个数学题，仔细一看还真是 ヾ(≧▽≦*)o
• 由于题目要求 l 的两个端点都是网格点，因此每条竖直或水平的直线拆分成的 k 段每段必须含有偶数个小段
• 观察水平和竖直的切分情况找规律可以发现：
• n=3,k=2 n=4,k=3+1=4 n=5,k=4+2=6 n=6,k=5+3+1=9
• 总结规律：k=(n-1)+(n-3)+…
• 把一行拆成 k₁ 个符合要求的小段，拆出来的 k₁ 段再乘上 n+1 行
• 列也如此处理，拆成 k₂ 个小段，拆出来的 k₂ 段再乘上 m+1 列
• 再处理一下对角线，满足条件的方格长和宽分别有刚才的 k₁ k₂ 种拆法
• 因此满足条件的方格数为 k₁ × k₂ 个，每个有 2 条对角线
• 最终答案即为 k₁ × (n+1) + k₂ × (m+1) + k₁ × k₂ × 2
• 以第二个样例为例绘制一张图便于理解
  

代码

#include 
using namespace std;

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	long long n,m,ln=0,lm=0,tmp,ans=0;
	cin>>n>>m;
	tmp=n-1;
	while(tmp>0)
	{
		ln+=tmp;
		tmp-=2;
	}
	tmp=m-1;
	while(tmp>0)
	{
		lm+=tmp;
		tmp-=2;
	}
	ans=ln*(m+1)+lm*(n+1);
	ans+=2*lm*ln;
	cout<<ans;
    return 0;
}