【BZOJ4872】分手是祝愿（动态规划，数学期望）
题面
BZOJ
题解
对于一个状态，如何求解当前的最短步数？
从大到小枚举，每次把最大的没有关掉的灯关掉
暴力枚举因数关就好
假设我们知道了当前至少要关\(tot\)次
如果一个灯被动两次以上是没有任何意义的
所以，相当于，要动的灯只有\(tot\)个
其他的是没有任何意义的
所以，题面可以变为：
现在有\(tot\)个\(1\)，\(n-tot\)个\(0\)
每次随机选择一个数将其异或\(1\)
求最终变为\(0\)的期望
我们现在考虑一下
设\(f[x]\)为剩下\(x\)个\(1\)的期望
并且我们知道了所有的值，
那么，我们不难推出：
\[f[x]=\frac{x}{n}(f[x-1]+1)+\frac{n-x}{n}(f[x+1]+1)\]
也就是
\[f[x]=\frac{x}{n}f[x-1]+\frac{n-x}{n}f[x+1]+1\]
同时，我们有边界：
\(f[x]=x(x\leq K)\)
\(f[n]=f[n-1]+1\)
如果考虑把\(f[n]\)带入到\(f[n-1]\)的式子中
我们可以得到只有\(f[n-1],f[n-2]\)之间的关系式
如此递推下去就可以推出\(f[K+1]\)和\(f[K]\)的关系式
这样就是常数项了
回朔带回去就可以求解
时间复杂度\(O(nlogn)\)
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