首先，我们得知道卢卡斯定理求得是啥。。。
比如C（n,m）求的是从n个数中取m个数的组合数
而C（n，m）等于的是n！/（m！*（n-m）！）。。不否认我们可以递推过去。。但是如果如果
m很大呢。。。大的达到了一个天文数字级别。。你该怎么办呢。。好吧卢卡斯也没有办法。。
但是，但是，如果MOD上一个素数P，结果就会很小，有人会说，我直接一边乘一边mod呗。。不是一样吗。。
我相信卢卡斯不会闲着没事干干这种事的，，，瞎掰个定理来玩你。。。
试想若果你乘的阶乘里面有一个modP等于0的数呢。。sisisisis。。不太好，不太好。。。
可是我们的这个n！/（m！*！（n-m））除后得到的结果是不会是P的倍数的（一般）；
所以下面就正式来讲lucas（n+m，m）这个蛇皮的东西
首先lucas既然是为了将天文数字降下来。。。那么我们的初始化。要初始化多少捏。。。
准确的说是1！------P！，都要用到。。原因是代码中会讲；
第一段
初始化
本人手懒就std关库cin了
std::ios::sync_with_stdio(false);
cin>>T;
while(T--){
cin>>n>>m>>p; fac[0]=1;
for(int i=1; i<=p; ++i) fac[i]=fac[i-1]*i%p;
cout<<lucas(n+m,m)%p<<endl;
你问为神马是n+m，m吗
额
你问你谷zcy这位管理员去，这个锅我不背
你谷卢卡斯定理模板
下面我们就简化成n和m即n=原来的n+m，m也就显而易见了
lucas定理主要证明就是（x） 我不会
他们都贴的是冯志刚的37页初等数论。。可惜我数竞太差了，，看不懂。。
所以友善的贴一下另一位大佬的证明博客
记得回来呀
所以我们得出
lucas（n,m）=lucas(n/P,m/P)*C(n%P,m%P) 的一条公式
诶你说和你之前看的不一样，，额，那种写法被我抛弃了。。
简单贴一下那种代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN=1e5,N=1e5+10;
ll p,a[N],b[N];
ll Lucas(ll x,ll y) {
if (x<y) return 0;
if (x<p&&y<p) return a[x]*b[x-y]%p*b[y]%p;
return Lucas(x%p,y%p)*Lucas(x/p,y/p)%p;
}
int main() {
int T;
scanf("%d",&T);
while (T--) {
ll n,m;
scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&p);
n+=m;
a[0]=1;
for (register ll i=1; i<=p-1; ++i) a[i]=a[i-1]*i%p;
b[1]=1;
for (register ll i=2; i<=p-1; ++i) b[i]=((-p/i*b[p%i])%p+p)%p;
b[0]=1;
for (register ll i=1; i<=p-1; ++i) b[i]=b[i]*b[i-1]%p;
printf("%lld\n",Lucas(n,m));
}
return 0;
}
不知道为什么之前的注释会乱码，，不放上去了。。
然后我们会惊奇的发现C（n%P,m%P）我们是能求的
这里要用到逆元的知识，本人不在普及，，
即C下n！/（m！*（n-m）！） n！，m！，（n-m）！我们都求出来了？？？？？为啥
我们看看前面的
首先lucas既然是为了将天文数字降下来。。。那么我们的初始化。要初始化多少捏。。。
准确的说是1！------P！，都要用到。。原因是代码中会讲；
终于用到了，，呵呵。。都%过了，还怕比他大？
所以一切结束
贴代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,m,p,T,fac[100010];
long long fpow(int x,int y){
long long res=x; y--;
while(y){if (y&1) res=1ll*res*x%p;
x=1ll*x*x%p; y/=2; }return res;
}
long long C(int n,int m){
if (m>n) return 0;
return (fac[n]*fpow((fac[m]*fac[n-m])%p,p-2)%p);
}
long long lucas(int n,int m){
if (m==0) return 1;
return (lucas(n/p,m/p)*C(n%p,m%p))%p;}
int main(){
std::ios::sync_with_stdio(false);
cin>>T;
while(T--){
cin>>n>>m>>p; fac[0]=1;
for(int i=1; i<=p; ++i) fac[i]=fac[i-1]*i%p;
cout<<lucas(n+m,m)%p<<endl;
}
}
代码略丑，大佬勿喷。。。
THE END