【NOIP 2018 T3】摆渡车

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前言

谁会想到这次模拟赛竟然会原题重考？？？上午还有人确认了不考原题

啊，真香，哎

虽说是原题，但是还是全部都忘完了。。。有了一个新的思路，调了接近一个小时原以为能$A$，$but$竟然只得了$35$分，还不如x某十分钟暴力$30$分来得快QwQ

题目

题目描述

有 $n$ 名同学要乘坐摆渡车从人大附中前往人民大学，第i位同学在第 $t_i$分钟去等车。只有一辆摆渡车在工作，但摆渡车容量可以视为无限大。摆渡车从人大附中出发、 把车上的同学送到人民大学、再回到人大附中（去接其他同学），这样往返一趟总共花费$m$分钟（同学上下车时间忽略不计）。摆渡车要将所有同学都送到人民大学。

凯凯很好奇，如果他能任意安排摆渡车出发的时间，那么这些同学的等车时间之和最小为多少呢？

注意：摆渡车回到人大附中后可以即刻出发。

输入格式

第一行包含两个正整数 $n,m$，以一个空格分开，分别代表等车人数和摆渡车往返 一趟的时间。
第二行包含 $n$ 个正整数，相邻两数之间以一个空格分隔，第 $i$ 个非负整数 $t_i$代表第 $i$ 个同学到达车站的时刻。

输出格式

输出一行，一个整数，表示所有同学等车时间之和的最小值（单位：分钟）。

输入输出样例

输入1

5 1 
3 4 4 3 5 

输出1

0

输入2

5 5 
11 13 1 5 5 

输出2

4

解析

还是就讲以前$A$过的那个思路吧，毕竟现在这个我到现在还没有调出来QAQ、、、

首先，应该能很容易的看出来是个$DP$，但是，应该怎么$D$呢？？

在这里引入一个比较好懂的思路，虽然空间耗费很比较大。。。

emmm，引入正题……

首先，设$dp[i][j][k]$的三维数组，对，你没看错，就是三维不然我怎么说空间有点大。。 $dp[i][j][k]$表示第$i$个人还要等$j$分钟才能坐到车（这里的坐到车的意思是还有$j$分钟车才会开，也就是说可能车已经到了，但是还得等人），同时（包括$i$）一共有$k$个人正在等这辆车。

至于为什么会这么想$dp$，额可能是因为二维太难想了罢、、、

说完了$dp$的定义，现在我们来想想转移。

dp转移

话说$dp$最难的就是这里了吧。。。

初始化

首先声明，这道题是用逆推来做，至于为什么要这么做呢？ _{我也不知道 （逃}

这是因为最后的那几个状态要比最开始的状态好想一些呀，不管怎么说，最后所有人都会被送到对面去。因此我们只需要枚举有多少人和他一起搭"末班车"，他们会需要等多久才能等到这班车（亦或是车等人）。

for (int i = 0; i <= m; i++)
	for (int j = 1; j <= n; j++)
		dp[n][i][j] = i * j;

真正的转移

接下来才是重点，刚刚全是想凑字数来着

首先，$i$肯定是从大到小枚举（刚刚已经讲过了），$j、k$是正向枚举（其实反向应该也没有太大问题，只是一般来说都是正向而已，大家可以试试）

然后我们看$dp[i][j][k]$到底如何转移。有两种情况：当车到的时候第$i+1$个人早就到了；当车到的时候第$i+1$个人还没到。

我们先看第一种情况：

当车到的时候第$i+1$个人早就到了。这个时候等这个车的人实际上又多了一个。因此$dp[i][j][k]=dp[i+1][j-cha[i]][k+1]+cha[i]\ast k$，这里的$cha$数组代表着第i个人和第i+1个人的时间差，因此在$i+1$的状态中，加上$i+1$这个人共有$k+1$个人在等这辆车。

接下来再看第二种情况：

当车到的时候第$i+1$个人还没到，那么在这里我们继续分成两种情况讨论，$a.$等$i+1$这个人一起上车；$b.$不等这个人，现在的$k$个人先走。而在$b$这个情况中，又会有两种情况：$1)$ 第$i+1$个人不需要等车，直接就能乘到下一辆车；$2)$ 第$i+1$个人需要等车

因此$dp[i][j][k]=min(dp[i+1][0][k+1]+cha[i]\ast k,dp[i+1][max(j+m-cha[i],0)][1]+j\ast k)$

总结来说，$dp[i][j][k]=min\left\{\begin{array}{c}dp[i+1][j-cha[i]][k+1]+cha[i]\ast k\\ (j>cha[i])\\ min\left\{\begin{array}{c}dp[i+1][0][k+1]+cha[i]\ast k\\ dp[i+1][max(j+m-cha[i],0)][1]+j\ast k\end{array}\right\}\\ (j<=cha[i])\end{array}\right\}$

最后输出$dp[1][0][1]$就行了。

注意$dp$数组清极大值后，在后面转移时要判断！！！

Code

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
#define reg register
#define LL long long
#define INF 0x3f3f3f3f

template<typename T>
void re (T &x){
    x = 0;
    int f = 1;
    char c = getchar ();
    while (c < '0' || c > '9'){
        if (c == '-') f = -1;
        c = getchar ();
    }
    while (c >= '0' && c <= '9'){
        x = (x << 1) + (x << 3) + c - 48;
        c = getchar ();
    }
    x *= f;
}

template<typename T>
void pr (T x){
    if (x < 0){
        putchar ('-');
        x = ~x + 1;
    }
    if (x / 10) pr (x / 10);
    putchar (x % 10 + 48);
}

#define N 500
#define M 100

int n, m, t[N + 5], cha[N + 5];
int dp[N + 5][M + 5][N + 5];

int main (){
    freopen ("bus.in", "r", stdin);
    freopen ("bus.out", "w", stdout);
    re (n); re (m);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        re (t[i]);
    sort (t + 1, t + 1 + n);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		cha[i] = t[i + 1] - t[i];
	memset (dp, INF, sizeof (dp));
	for (int i = 0; i <= m; i++)
		for (int j = 1; j <= n; j++)
			dp[n][i][j] = i * j;
	for (int i = n - 1; i; i--)
		for (int j = 0; j <= m; j++)
			for (int k = 1; k <= i; k++)
				if (j > cha[i]){
					int x = dp[i + 1][j - cha[i]][k + 1];
					if (x == INF) x = 0;
					dp[i][j][k] = min (dp[i][j][k], x	+ cha[i] * k);
				}
				else{
					int x1 = dp[i + 1][0][k + 1], x2 = dp[i + 1][max (0, j + m - cha[i])][1];
					if (x1 == INF) x1 = 0;
					if (x2 == INF) x2 = 0;
					dp[i][j][k] = min (dp[i][j][k], min (x1 + cha[i] * k, x2 + j * k));
				}
	pr (dp[1][0][1]);
	putchar (10);
    return 0;
}