几何角度理解叉乘

简介：本文解释了叉乘（本文只考虑三维向量）的计算（行列式）和几何解释之间的关系

1.叉乘的计算及几何解释

在我学习叉乘的时候，老师教了我们两个东西：

• 叉乘的计算方法：用行列式。
  设有向量$v=(v_1,v_2,v_3),w=(w_1,w_2,w_3),$则

$$\begin{gathered} v\times w=det(\left[\begin{array}{ccc}i& j& k\\ v_1& v_2& v_3\\ w_1& w_2& w_3\end{array}\right])=(v_2\cdot w_3-v_3\cdot w_2)i+(v_3\cdot w_1-v_1\cdot w_3)j+(v_1\cdot w_2-v_2\cdot w_1)k \\ =\left[\begin{array}{c}{v}_2\cdot w_3-v_3\cdot w_2\\ v_3\cdot w_1-v_1\cdot w_3\\ v_1\cdot w_2-v_2\cdot w_1\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(1)} \end{gathered}$$

• 叉乘的几何意义：垂直于两个向量（如果是右手坐标系就要符合右手法则），长度等于两个向量构成的平行四边形面积。

但是，为什么用行列式计算出来的向量就具有上述几何意义呢？

2. 从叉乘的计算到叉乘的几何解释

2.1 公式推导

假设有一向量$u=(x,y,z)$，那么由$u，v，w$构成的平行六面体的体积可以由以这三个向量为列向量的矩阵的行列式求得，即，
$$\begin{gathered} Volume=det(\left[\begin{array}{ccc}x& y& z\\ v_1& v_2& v_3\\ w_1& w_2& w_3\end{array}\right])=(v_2\cdot w_3-v_3\cdot w_2)x+(v_3\cdot w_1-v_1\cdot w_3)y+(v_1\cdot w_2-v_2\cdot w_1)z \\ =\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{v}_2\cdot w_3-v_3\cdot w_2\\ v_3\cdot w_1-v_1\cdot w_3\\ v_1\cdot w_2-v_2\cdot w_1\end{array}\right]=u\cdot (v\times w)\text{\hspace{1em}(2)} \end{gathered}$$

也就是说，$u，v，w$构成的平行六面体的体积，等于$u$和$v\times w$的点积。

2.2 理解

平行六面体的体积 = 底 $\times$ 高。在这里，“底”就是$v，w$构成的平行四边形面积；“高”就是$u$在$v，w$构成的平行四边形垂直方向的投影。假设这个垂直方向是$n$（已归一化），那么平行六面体的体积 = area(平行四边形) $\cdot u\cdot n$= $u\cdot (area\cdot n)$

对比公式（2）可得，$v\times w=area\cdot n$，即，叉乘的大小等于两个向量构成的平行四边形面积，方向垂直于该平行四边形。

3 参考资料

线性代数的本质：以线性变换的眼光看叉积