几何向量：向量乘法（叉乘）

紧接上一篇：http://blog.csdn.net/yinhun2012/article/details/79425674

之前我们学习了物理意义上的做功，也就是数学中向量点积的实际意义，这一篇我们学习物理上另外一种力的作用，也就是力矩。

物理上定义力矩是力对物体产生转动作用的物理量，这里我们想象一下现实中的力矩现象，比如陀螺，老式摇动柴油发动机，打隧道用的隧道机械都有力矩在其中。

这里我们看一下老式柴油发动机的摇把，如下图：

手对摇把产生OA的半径圆的切线方面力F摇动，那么会产生一种沿着Z轴的力矩L，物理上把求力矩L定义为力F 乘 力臂OA，既：L = F*OA。

这里力矩L可以看作一个和Z轴重合的向量，力矩L的数量值等于力F作用的那一刻（那一瞬间，后面我们在微分中会讲解一瞬的意义）与力臂OA组成的平行四边形（特殊情况下比如F为切线就是矩形）的面积，上图中力M就是普通情况，求AM'和MG的乘积救得到力矩的向量的模长。

扯了这么多，其实就是阐述力矩的这种定义，数学上我们把计算力矩称为计算叉积，接下来我们继续观察叉积的几何意义。

我们同样建立空间xyz坐标系，如下图：

向量OA和AB的叉积OC，OC的属性包括两个

①OC垂直于OA，AB所在的平面（不共线三点确定一个平面）

②OC的向量模长等于OA，AB组成的平行四边形的面积

接下来就要思考怎么计算OC这个向量了，为了直观些，我们继续看下图：

够形象吧，OC这个“力矩”垂直于OB且垂直于OA①，而且模长等于|OA|*|OB|*sin∠BOA②，如下图：

由①我们推算出OC的Z代数坐标分量，那么此时问题就变换成求Z分量了，如下图：

这里我们用xyz基坐标两两的叉积等第三轴的基坐标，这种特殊形式推出OC中z值。

下面我们用程序验证一下，如图：

using System.Collections;
using System.Collections.Generic;
using UnityEngine;

public class CrossMathFunc : MonoBehaviour {

    public Transform aHead;
    public Transform aTail;
    public Transform bHead;
    public Transform bTail;

    void Start()
    {
        //A (a1,a2,a3)
        Vector3 A = aTail.position - aHead.position; 
        //B (b1,b2,b3)
        Vector3 B = bTail.position - bHead.position;
        //用推导公式计算
        Vector3 crossAB = new Vector3(A.y*B.z-A.z*B.y, A.z * B.x - A.x * B.z, A.x * B.y - A.y * B.x);

        //用api计算
        Vector3 apicrossAB = Vector3.Cross(A, B);
#if UNITY_EDITOR
        Debug.LogFormat("crossAB = {0} apicrossAB = {1}", crossAB, apicrossAB);
#endif
    }
}

上面我们介绍了向量叉积的含义和推导过程，接下来看下两个向量叉积比较形象的示意图，如下：

可以看出按照规定的逆时针旋转，两向量夹角在0-180°时叉积向量N“向上”，夹角在180-360°时叉积向量N“向下”。

这个所谓的“向上”和“向下”是一个相对概念，假如我们使用左手坐标系，如下图：

那么向上就是沿着Y轴正方向，向下就是负方向了。

叉积在图形学中应用主要是计算法向量，因为图形学中经常会出现光线反射的问题，叉积提供了我们计算法向量的方法，后面我们继续推导光线反射。