向量的点积与叉积

向量的点积

点积又叫内积，数量积，有以下两个定义：
a⃗ ⋅b⃗ =abcosθ
a⃗ ⋅b⃗ =axbx+ayby+azbz

• 几何意义

  • 一个向量在另一个向量上投影的积。如果其中一个向量是坐标轴的单位向量，那么结果就是这个向量在该坐标轴的坐标。那么如果要将一个向量变换到新的坐标系，只需要对新坐标系的轴向量进行内积运算即可。
  • 内积还可以对两个向量的方向进行大致的判断，为正说明向量之间夹角为锐角，为负说明夹角是钝角，为0说明夹角是90度，即相互垂直。

• 物理意义
  可以参考高中教材，力在斜坡上对木块做功。

向量的叉积

叉积又叫外积。定义也有两个：
a⃗ ×b⃗ =(absinθ)n⃗ 
a⃗ ×b⃗ =(aybz−azby,azbx−axbz,axby−aybx)

• 几何意义

  • 叉积是一个向量，改向量垂直与两个向量所确定的平面，大小等于由两个向量为边组成的平行四边形的面积。该向量的方向可以由右手定则唯一确定：按照运算顺序，四指指向第一个向量a,往后向b弯曲，大拇指所指的方向就是叉积的方向。
  • 该叉积的三个分量其实就是该平行四边形在三个坐标平面上的投影。而每个单独的投影也是一个叉积的大小。比如 axby−aybx 就是叉积 (ax,ay)×(bx,by) 的大小。
  • 注意：两个向量的叉积只能定义在三维空间中。

• 物理意义
  如果一个向量为力，另外一个向量为杆（力臂），那么叉积就是力矩。