IMU噪声模型

陀螺噪声模型

陀螺测量模型：
$$x_m(t)=x(t)+b(t)+n(t)\text{\hspace{1em}(1)}$$

$x_{\mathrm{m}}$为测量输出，$x$为真值，$b$为零偏，$n$为速率噪声，假设为高斯白噪声。

白噪声（White Noise）

假设测量模型中的 $n(t)$ 为零均值高斯白噪声，其均值（mean）为零：
$$E[n(t)]=0$$

其自相关函数为Delta函数，即白噪声在不同时刻的值统计无关：
$$E[n(t_1)n(t_2)]={\sigma }^2\delta (t_1-t_2)$$

自相关函数的数学定义：$R(\tau )={\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)x(t-\tau )\mathrm{d}\mathrm{t}$。

离散形式：
$$\begin{gathered} n[k]=\frac{1}{\Delta T}{\int }_{t_0}^{t_0+\Delta T}n(t)\mathrm{d}t \\ n[k]\sim N(0,{\sigma }_{\mathrm{d}}^2) \\ {\sigma }_{\mathrm{d}}=\sigma \frac{1}{\sqrt{\Delta T}} \end{gathered}$$

其中$\Delta T$是采样时间（即平均时间）。这里假设理想低通滤波器的带宽为$f=\frac{1}{\Delta T}$。根据采样定理，这个频率应该是2倍于感兴趣的信号最高频率，即有用信号最高频率不能超过$f=\frac{1}{2\Delta T}$，高于这个频率的信号和噪声全部被滤除。以角速率陀螺的测量输出为例，${\sigma }_d$的单位为$°/h$，$\Delta T$的单位是$h$，所以$\sigma$的单位为$°/\sqrt{h}$。

离散过程是求采样周期$\Delta T$内的平均输出：
$$n[k]=\frac{1}{\Delta T}{\int }_{t_0}^{t_0+\Delta T}n(t)\mathrm{d}t$$

其均值为
$$\begin{array}{rl}E(n[k])& =\frac{1}{\Delta T}{\int }_{t_0}^{t_0+\Delta T}E[n(t)]\mathrm{d}t\\ & =0\end{array}$$

其方差为
$$\begin{array}{rl}{\sigma }_d^2& =E\left((n[k]{)}^2\right)\\ & =E\left((\frac{1}{(\Delta T{)}^2}{\int }_{t_0}^{t_0+\Delta T}{\int }_{t_0}^{t_0+\Delta T}n(\tau )n(t)\mathrm{d}\tau \mathrm{d}t\right)\\ & =\frac{1}{(\Delta T{)}^2}{\int }_{t_0}^{t_0+\Delta T}{\int }_{t_0}^{t_0+\Delta T}E[n(\tau )n(t)]\mathrm{d}\tau \mathrm{d}t\\ & =\frac{{\sigma }^2}{(\Delta T{)}^2}{\int }_{t_0}^{t_0+\Delta T}{\int }_{t_0}^{t_0+\Delta T}\delta (t-\tau )\mathrm{d}t\mathrm{d}\tau \\ & =\frac{{\sigma }^2}{(\Delta T{)}^2}{\int }_{t_0}^{t_0+\Delta T}1\mathrm{d}t\\ & =\frac{{\sigma }^2}{\Delta T}\end{array}$$

可见平均时间越长，采样信号的方差越小，这与直觉一致。

其中
$$\begin{array}{rl}{\int }_{t_0}^{t_0+\Delta T}\delta (t-\tau )\mathrm{d}t& ={\int }_{t_0-\tau }^{t_0-\tau +\Delta T}\delta (m)\mathrm{d}m=1\end{array}$$

由于$\tau \in [t_0,t_0+\Delta T]$，所以上面的积分范围为$-\Delta T\le t_0-\tau \le 0$，而$0\le t_0-\tau +\Delta T\le \Delta T$，所以上式=1。

零偏（Bias）

传感器测量误差中的缓变部分建模为“布朗运动（Brownian motion）”，也称为“维纳过程（Wiener process）”，或“随机游走（random walk）”（离散域中）。
$$\begin{gathered} \dot{b}(t)=w(t) \\ w(t)\sim N(0,{\sigma }_b) \\ E[w(t_1)w(t_2)]={\sigma }_b^2\delta (t_1-t_2) \end{gathered}$$

其中$\omega (t)$为零均值高斯白噪声。离散形式：
$$\begin{gathered} b_d[k]=b_d[k-1]+w_d[k] \\ {w}_d[k]\sim N(0,{\sigma }_b\sqrt{\Delta T}) \end{gathered}$$

即：
$${\sigma }_{bd}={\sigma }_b\sqrt{\Delta T}$$

离散过程：
$$\begin{array}{rl}{\int }_{t_0}^{t_0+\Delta T}\dot{b}(t)dt& ={\int }_{t_0}^{t_0+\Delta T}w(t)\mathrm{d}t\\ b(t_0+\Delta T)-b(t_0)& ={\int }_{t_0}^{t_0+\Delta T}w(t)\mathrm{d}t\\ b_d[k]-b_d[k-1]& ={\int }_{t_0}^{t_0+\Delta T}w(t)\mathrm{d}t\end{array}$$
即
$$w[k]={\int }_{t_0}^{t_0+\Delta T}w(t)\mathrm{d}t$$
离散白噪声均值：
$$\begin{array}{rl}E\left(w[k]\right)& =E\left({\int }_{t_0}^{t_0+\Delta T}w(t)\mathrm{d}t\right)\\ & ={\int }_{t_0}^{t_0+\Delta T}E[w(t)]\mathrm{d}t\\ & =0\end{array}$$
方差：
$$\begin{array}{rl}{\sigma }_{bd}^2& =E\left((w[k]{)}^2\right)\\ & =E\left({\left({\int }_{t_0}^{t_0+\Delta T}w(t)\mathrm{d}t\right)}^2\right)\\ & =E\left({\int }_{t_0}^{t_0+\Delta T}{\int }_{t_0}^{t_0+\Delta T}w(\tau )w(t)\mathrm{d}\tau \mathrm{d}t\right)\\ & ={\int }_{t_0}^{t_0+\Delta T}{\int }_{t_0}^{t_0+\Delta T}E[w(\tau )w(t)\mathrm{d}\tau \mathrm{d}t\\ & ={\sigma }_b^2{\int }_{t_0}^{t_0+\Delta T}{\int }_{t_0}^{t_0+\Delta T}\delta (t-\tau )\mathrm{d}\tau \mathrm{d}t\\ & ={\sigma }_b^2\Delta T\end{array}$$

标准差：
$${\sigma }_{bd}={\sigma }_b\sqrt{\Delta T}$$

${\sigma }_{bd}$的单位是$deg$，$\Delta T$的单位为$h$，所以${\sigma }_b$的单位是$°/\sqrt{h}$。

表1：IMU噪声模型参数总结

参数	符号	单位
陀螺噪声谱密度	${\sigma }_g$	$\frac{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}{\mathrm{s}}\frac{1}{\sqrt{\mathrm{H}\mathrm{z}}}$
加计噪声谱密度	${\sigma }_a$	$\frac{m}{s^2}\frac{1}{\sqrt{Hz}}$
陀螺随机游走	${\sigma }_{bg}$	$\frac{rad}{s^2}\frac{1}{\sqrt{Hz}}$
加计随机游走	${\sigma }_{ba}$	$\frac{m}{s^3}\frac{1}{\sqrt{Hz}}$
IMU采样速率	$\frac{1}{\Delta T}$	$Hz$

白噪声的累积，随机游走，随机游走系数

随机游走（Random Walk）定义为白噪声的时间积分：
$$\begin{array}{rl}\theta (t)& ={\int }_0^{t}n(\tau )\mathrm{d}\tau \end{array}$$

均值：
$$\begin{array}{rl}E\left(\theta \right)& =E\left({\int }_0^{t}n(\tau )\mathrm{d}\tau \right)\\ & ={\int }_0^{t}E(n(\tau ))\mathrm{d}\tau \\ & =0\end{array}$$

方差：
$$\begin{array}{rl}{\sigma }_{\theta }^2(t)& =E\left({\left({\int }_0^{t}n(\tau )\mathrm{d}\tau \right)}^2\right)\\ & =E\left({\int }_0^t{\int }_0^{t}n({\tau }_1)n({\tau }_2)d{\tau }_1\mathrm{d}{\tau }_2\right)\\ & ={\int }_0^t{\int }_0^{t}E(n({\tau }_1)n({\tau }_2))\mathrm{d}{\tau }_1\mathrm{d}{\tau }_2\\ & ={\sigma }^2{\int }_0^t{\int }_0^t\delta ({\tau }_1-{\tau }_2)\mathrm{d}{\tau }_1\mathrm{d}{\tau }_2\\ & ={\sigma }^{2}t\end{array}$$
${\sigma }^2$具有速率的量纲。

标准差：
$${\sigma }_{\theta }(t)=\sigma \sqrt{t}$$

以上结果说明，随机游走的均值为0，而其方差和标准差是积分时间的函数，方差与积分时间成正比，标准差与积分时间的方根成正比。由于${\sigma }_{\theta }$的单位为$deg$，$t$的单位为$h$，所以上式中$\sigma$的单位为$°/\sqrt{h}$。$\sigma$也称为随机游走系数（RWC, Random Walk Coefficient），是一个新定义的量，它在数值上与白噪声的标准差相同，但有不同的含义。随机游走参数指的就是随机游走系数。

• 注意要用基本单位推出导出单位。

各种噪声性能指标的单位换算

角度随机游走（ARW）的单位采用$°/\sqrt{h}$，陀螺零偏稳定性的单位采用$°/h$。用来表达噪声大小的其它测量量是功率谱密度（PSD，power spectral density，单位为$(°/h{)}^2/Hz$）和FFT噪声密度（单位为$°/h/\sqrt{Hz}$）。PSD为功率谱，FFT为幅度谱。不同噪声指标之间的转换公式：
$$\begin{array}{rl}ARW(°/\sqrt{h})& =\frac{1}{60}\sqrt{PSD((°/\mathrm{h}{)}^2/\mathrm{H}\mathrm{z})}\\ ARW(°/\sqrt{h})& =\frac{1}{60}FFT(°/h/\sqrt{Hz})\end{array}$$

Dirac函数的单位

根据定义，$\delta$函数描述了某种理想物理量的密度分布的概念，因此其单位为：
$$[\delta (\tau )]=\frac{1}{[x]}$$

其中$[x]$为该物理量的分布域单位。当$x$为时间时，其单位为：
$$[\delta (\tau )]=\frac{1}{\text{sec}}=\text{Hz}$$

所以角速率噪声方差的单位为：
$$[E[n_r(t+\tau )n_r(t)]]=[{\sigma }_{r_c}^2\delta (\tau )]=\frac{{\text{rad}}^2}{{\text{sec}}^2}$$

$$\begin{array}{rl}[{\sigma }_{rc}^2]& ={\left(\frac{rad}{sec}\right)}^{2}sec\\ & =\frac{{rad}^2}{sec}\\ & ={\left(\frac{rad}{sec}\right)}^2\frac{1}{Hz}\end{array}$$

标准差的单位为：
$$\begin{array}{rl}[{\sigma }_{rc}]& =\frac{rad}{sec}\sqrt{sec}\\ & =\frac{rad}{\sqrt{sec}}\\ & =\frac{rad}{sec}\frac{1}{\sqrt{Hz}}\end{array}$$

Allan variance

计算Allan variance：
$${\sigma }^2(\tau )=\frac{1}{2{\tau }^2}⟨({\theta }_{k+2m}-2{\theta }_{k+m}+{\theta }_k{)}^2⟩$$

其中$\tau =m{\tau }_0$，$⟨⟩$是ensemble average（总体平均）。总体平均可以展开为：

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