从条件概率到贝叶斯公式

    在实际生活中，有时需要考虑在已知一个事件发生的条件下，另外一个事件发生的概率，这个概率即条件概率。本文将从条件概率出发，引出概率论与数理统计中非常重要的两个公式：全概率公式和贝叶斯公式。

首先，我们来看下什么是条件概率？

定义：设A、B是两个事件，且P(B)>0，则称比值为在事件B已经发生的条件下，事件A发生的条件概率，记作P(A|B)，即

。

如何理解这个条件概率的公式呢？

我们以古典概型(等可能概型)来理解上式。假设试验的基本事件总数为n，B所包含的基本事件数为m(M>0)，AB所包含的基本事件数为k。因为事件B已经发生了，故而在考虑事件A发生的概率时，所有可能的结果一般不再是整个样本空间S，而是B中的结果，也就是说导致A发生的结果一定来源于B，根据古典概型中事件概率的计算可得：

从集合的角度，画个图可能更方便理解：

举个条件概率的栗子：

一个袋子中有3个黑球和7个白球，依次从袋子中不放回的取球两次，每次取一个球，现求：

（1） 已知第一次取出的是黑球，则第二次取出的也是黑球的概率；

（2）已知第二次取出的是回去，则第一次取出的也是黑球的概率。

设事件表示第i次取到黑球，i=1，2，则：

故：

上面的例子中，似乎表明对于不放回抽样，抽到黑球的概率与抽球的次序无关，每次抽到和黑球的概率相等。实际上，这种感觉是对的。生活中也有这样的例子，比如买彩票，在开奖前10天，你每天都去彩票站买一张号码不同的彩票，这10张彩票中奖的概率理论上是相同的。感兴趣的同学可以思考下这其中的原因。

接下来要说的是乘法公式和乘法定理，前文中我们已经得到了条件概率的公式：

P(B)>0时，；

P(A)>0时，

把条件概率的公式变一下，我们就得到了乘法公式：

乘法定理即乘法公式的扩展：

最后要介绍的就是全概率公式和贝叶斯公式：

全概率公式

定义：设S为试验E的样本空间，为E的一组事件，若

则称为样本空间S的一个划分或者分割。

全概率公式：设为样本空间S的一个划分，且，则对任何事件A有

全概率公式的证明：

若，则：

类似地，我们也可以从集合的角度理解全概率公式，下图即全概率公式的图解：

举个全概率公式的栗子：

某工厂有四条流水线生产同一产品，四条流水线的产量分别占总产量的15%，20%，30%，35%，又知这四条流水线的不合格品率依次为0.05，0.04，0.03，0.02。现从出厂产品中任取一件，求恰好取到不合格品的概率。

设以A表示事件任取一件，恰好取到不合格品，表示任取一件取到第i条流水线的产品，i=1，2，3，4，则构成样本空间的一个划分，且：

由全概率公式可得：

因此，从出厂产品中任取一件，恰好取到不合格品的概率是3.15%。

贝叶斯公式

在上述例子中，若该厂规定，出了不合格品要追究有关流水线的经济责任。现从出厂产品中任取一件，结果为不合格品，单该产品是那一条流水线生产的标志已经脱落，问该产品来自四条流水线其中某一条流水线的概率分别是多少？

上述问题实际上就是求在已经知道取到不合格品的条件下，该产品来自四条流水线其中某一条流水线的条件概率，则

同理，可求得  

至此，我们引入了一个极为有用的公式，即如下的贝叶斯公式：

设为样本空间S的一个划分，且 ，则对任何事件A，若 有

，此式即贝叶斯公式。

贝叶斯公式本质上就是条件概率公式，只不过是用乘法公式展开了条件概率公式中的分子，用全概率公式展开了条件概率公式中的分母。

 

PS：本文内容主要参考由高等教育出版社出版，严继高老师主编的《概率论与数理统计》一书