最长递增子序列 LIS

区分：

子数组：要求连续
子序列：子序列中元素的先后顺序要与原序列一致，但不必连续。

问题：

求出给定序列的所有递增子序列中最长的那个子序列

状态转移方程

对 j 从 0 到 i - 1：
dp[i]=max{1,dp[j]+1 | j

问题

1、拦截导弹：

题目概述：
拦截条件：按照时间先后，第一发炮弹任意高度，但以后每发炮弹不能高于前一发的高度。
输入：输入雷达捕捉到的敌国导弹的数量k，和k枚导弹的高度；
输出：拦截导弹的最大枚数。

考察 最长不增子序列

#include
#include
#include
using namespace std;
const int maxn=26;
int dp[maxn];
int height[maxn];

int maxcapture(int k){//k为导弹的数量
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    dp[0]=1;//第一个元素
    int res = 1;
    //更新其他dp值
    for(int i=1;i<k;i++){//计算dp[i]
        for(int j=0;j<i;j++){//与之前的i-1个元素对比，也是与连续最不同的地方
            if(height[j]>=height[i]){
                dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
            }
        }
        dp[i]=max(1,dp[i]);//将dp[i]更新到最大
        res=max(res,dp[i]);//知道最大的值
    }
    return res;
}

int main(){
    int k;
    cin>>k;
    for(int i=0;i<k;i++){
        cin>>height[i];
    }
    cout<<maxcapture(k);
    return 0;
}

2、最大上升子序列和

区分最长递增子序列和最大上升序列和
最长递增子序列只考虑序列的元素数目
最长上升子序列和考虑到元素的大小

状态转移式：
dp[i] 表示以i 结尾的最大上升子序列和
对 j 从 0 到 i - 1：
dp[i]=max{Ai,dp[j]+Ai| j

与上一题基本没差

#include
#include
#include
using namespace std;
const int maxn=1000;
int dp[maxn];
int b[maxn];
int maxsum(int k){
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    dp[0]=b[0];
    int res=b[0];
    for(int i=1;i<k;i++){
        for(int j=0;j<i;j++){
            if(b[i]>b[j]){
                dp[i]=max(dp[i],dp[j]+b[i]);
            }
        }
        dp[i]=max(b[i],dp[i]);//避免前面都是负值，仅仅矮子里跳尖子暗中
        res=max(res,dp[i]);
    }
    return res;
}

int main(){
    int k;
    cin>>k;
    for(int i=0;i<k;i++){
        cin>>b[i];
    }
    cout<<maxsum(k);
    return 0;
}

3、合唱队形（要难一点）

题目描述：

N位同学站成一排，音乐老师要请其中的(N-K)位同学出列，使得剩下的K位同学不交换位置就能排成合唱队形。 合唱队形是指这样的一种队形：设K位同学从左到右依次编号为1, 2, …, K，他们的身高分别为T1, T2, …, TK， 则他们的身高满足T1 < T2 < … < Ti , Ti > Ti+1 > … > TK (1 <= i <= K)。 你的任务是，已知所有N位同学的身高，计算最少需要几位同学出列，可以使得剩下的同学排成合唱队形

输入：
输入的第一行是一个整数N（2 <= N <= 100），表示同学的总数。
第一行有n个整数，用空格分隔，第i个整数Ti（130 <= Ti <= 230）是第i位同学的身高（厘米）。

输出：
可能包括多组测试数据，对于每组数据，
输出包括一行，这一行只包含一个整数，就是最少需要几位同学出列。

分析：

前半段递增
后半段递减(逆序)
分两段查找

思路很简单，但是写了好久，总是无法完全通过 30%

看了别人的题解，感觉与自己的思考略有差异，但是实在没找到错误。可能下标的处理存在问题，用两个数组存放结果，更清晰一些。e’w

以下为通过的代码

#include 
#include 
using namespace std;
int main() {
    int n;
    while (cin >> n) {
        int height[100];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            cin >> height[i];
        }
        int dp1[100];
        int dp2[100];
        memset(dp1, 0, sizeof(dp1));
        memset(dp2, 0, sizeof(dp2));
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            dp1[i] = 1;
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                if (height[i] > height[j]) {
                    dp1[i] = (dp1[i] > dp1[j] + 1) ? dp1[i] : (dp1[j] + 1);
                }
            }
        }
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
            dp2[i] = 1;
            for (int j = n - 1; j > i; j--) {
                if (height[i] > height[j]) {
                    dp2[i] = (dp2[i] > dp2[j] + 1) ? dp2[i] : (dp2[j] + 1);
                }
            }
        }
        int max = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (dp1[i] + dp2[i] > max) {
                max = dp1[i] + dp2[i];
            }
        }
        cout << n + 1 - max << endl;
    }
    return 0;
}