傅里叶级数
傅里叶级数
@(微积分)
–总结自课本基础知识
三角函数与正交性
特别注意三角函数系 1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,..,cosnx,sinnx,... 在区间 [−π,π] 上正交，指的是该函数系中任何两个不用的函数积在 [−π,π] 上的积分为0.
这是一个很奇妙的特性，特别验证一下。
给定的是对称区间，因此，如果被积函数是奇函数，则马上可以断定积分为0，比如sinnx。那么为什么偶函数cosx积分也为0呢？画图可以看出来在 [−π,0]和[0,π] 上的积分均为0，是分别关于点 (−π2,0),(0,π2) 对称的。
由此铺垫开来，得到傅里叶级数。
傅里叶级数
an=1π∫π−πf(x)cosnxdx,n=0,1,2,...
bn=1π∫π−πf(x)sinnxdx,n=1,2,3...
特别注意 a0 的存在。
an,bn 是 f(x) 的傅里叶系数。
级数是这样定义的：
以 f(x) 的傅里叶系数为系数的三角级数
a02+∑∞n=1(ancosnx+bnsinnx) 叫 f(x) 的傅里叶级数。
记作： f(x)∼a02+∑∞n=1(ancosnx+bnsinnx)
狄利克雷收敛定理
设 f(x) 是周期 2π 的函数，且在 [−π,π] 上满足：
- 除了有限个第一类间断点外都连续
- 只有有限个极值点
则 f(x) 的傅里叶级数在 [−π,π] 上收敛，且收敛于：
- f(x) , x是连续点
- f(x−)+f(x+)2 ,x是间断点
- f(−π+)+f(π−)2 , x=±π
周期为 2π 的函数的傅里叶展开
分成两个步骤：
- 计算 an.bn,写出傅里叶级数
- 利用收敛定理确定在 [−π,π] 上的收敛情况。
具体展开:
1）在 [−π,π] 普通展开：
an=1π∫π−πf(x)cosnxdx=0,n=0,1,2,...
bn=1π∫π−πf(x)sinnxdx=0,n=1,2,3...
2） f(x) 是奇函数：
an=0,n=0,1,2,...
bn=2π∫π0f(x)sinnxdx,n=1,2,3...
3） f(x) 是偶函数：
an=2π∫π0f(x)cosnxdx,n=0,1,2,...
bn=0,n=1,2,3...
在 [0,π] 上可以展开为正弦级数或者余弦级数。
即：
i) 通过延拓， f(x) 变成奇函数，则展开式是正弦级数：
an=0,n=0,1,2,...
bn=2π∫π0f(x)sinnxdx,n=1,2,3...
ii) 通过延拓， f(x) 变成偶函数，则展开式是余弦级数：
an=2π∫π0f(x)cosnxdx,n=0,1,2,...
bn=0,n=1,2,3...
这是自己的选择，也是根据题目要求做决定。
广义化的话，可以将 l=π 视作上面的特例，迁移即可。
即区间变为 [−l,l]