FFT的前世今生
- 好像图片都挂了........文章word版，以及《深入浅出通信原理》上传在主页
- 信号的表达
先肯定一点，信号可以分解为多项式相加的的一种形式。即a+bX+cX2+dX3....。为了更好理解，该多项式应该满足：
我理解为，表达式里，时域上的次方，要能对于到频域上的相应次数的频率。
这样，当两个信号相乘的时候，我们就可以用卷积计算出来他们的最终结果（时域的相乘等于频域的卷积）。之所以要去算频域的卷积，因为涉及到信号分析，就离不开分析频率。所以把时域转化到频域做分析是信号分析时候的常见手段。在频域进行分析更加方便。
而对于多项式里面的X,怎么定义它呢。早就有人帮我们求出了这个X的万能表达式了，x更合理的表达式为
（以上这些话的如果不懂就参考《深入浅出通信原理》连载的前五章，有推导过程，本系列笔记也大多数参考的该书）。
而对于这个表达式有一个更简洁的表达式，就是欧拉公式。
对于欧拉公式，怎么形象的理解他呢？他的物理意义是什么？
其实在时域上很难说清，我是这样理解的不知道对不对。首先这个表达式是一个基本元素信号的表达式。既然是信号，有个难点就是需要用数学表达式把信号的频率也表达出来。所以就出来了一个j（虚部），这样实部和虚部的共同作用就形成了一个带角度（即频率），它表示了信号的频率，而在欧拉表达式前面乘以相应的系数则代表了信号幅度的大小。信号的频率和幅度这些基本元素就表达完了。当然有人总结得更形象，从三维角度来解读：
从这个角度来看，其实信号分析里面经常出现的负W（负频率）的物理意义其实就是在三维图上，反方向旋转。
好了，说那么多其实也就是夯实：任何信号都能用欧拉表达式多项式组成。即
其中，
。
这样表达究竟好处在哪里呢。前文说的“当两个信号相乘的时候，我们就可以用卷积计算出来他们的最终结果”如何体验呢？下文给出实例：
- 理解虚数
由欧拉公式的物理意义可以发现：
欧拉公式所表示的信号就是一个在X轴投影是cosQ,在y轴投影是SINQ的向量，他的旋转角是Q。当Q=90度的时候，这个信号就变成了Y轴上的向量，表达式上看就是一个j，也就是虚轴上的一个数。
- 正交调制
首先，为何要调制？
最常见的就是正交调制了。
对于正交调制，为了方便计算，它其实可以表示为两个复数的乘积，然后取他们结果的实部就调制结果，具体推演过程如下：
- 卷积的理解：
卷积分为几种，我们这里分析的以序列为例，分析离散信号的卷积。
所谓的卷积，根据表达式，它首先是n的函数。在信号处理的时候，它就是W的函数。我的理解是，先对信号h()先进行取反，即“卷”；然后对于每一个n值,其实都对应n个X()*h()的“积”组成的一个多项式和；最后，把每一个n对应的“积”再求和就是卷积的和。
5.用频域卷积定理理解采样
针对采样过程，左边是时域的情况，右边对应频域。由推导可以知道，时域的采样函数，对应到频域是周期为W的函数P(W)。频域的卷积P(w)*F(w)的结果就是一个周期性的表达式。
对于上面的图我们可以得到这样的结论： 在时域对信号进行抽样，相当于在频域以采样频率为间隔对频谱进行周期性拓展 。（其实也就是有时域的乘积是频域的卷积推导而来）。
- 采样定理
分为带通采样定理和基带采样定理
- 对模拟信号进行频谱分析
模拟信号时域信号需要到频域进行分析。一般都采用对信号做傅里叶变化，让信号从时域转化到频域。
8.泄露
DFT后，频域上出现了一些原始信号中不存在的信号，这就是频谱泄露。
上图两个图，从上至下截取长度越来越长，可以见到，泄露越来越少。
同时，为了防止频谱泄露，该采取什么办法呢？
而结论里的截取长度在采样率一定时，数字信号里就是采样的点数。所以说，对于信号分析来说，采样率一定时，其实关注的就是采样的点数。
再深了说其实本质也就是分辨率。分辨率需要是频率成分的整数倍，才不会有频谱泄露。这在频域上是很好理解的。所以，
这个式子里任何一个因素都是泄露的原因。所以，如果，满足了截取长度的要求后，又补零了，还是有泄露。
当然，值得提醒的是，这个结论都是基于周期信号而言的。总结一下，频谱泄露的一些原因就是下表。
- 减少频谱泄露
主要是以下三个方法：
当热，出于实际的考虑，不能把长度无限制的去扩大，这会降低采样的效率。
- 利用FFT进行频谱分析
FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换到频域。有些信号在时域上是很难看出什么特征的，但是如果变换到频域之后，就很容易看出特征了。这 就是很多信号分析采用FFT变换的原因。另外，FFT可以将一个信号的频谱提取出来，这在频谱分析方面也是经常用的。
虽然很多人都知道FFT是什么，可以用来做什么，怎么去做，但是却不知道FFT之后的结果是什意思、如何决定要使用多少点来做FFT。
一个模拟信号，经过ADC采样之后，就变成了数字信号。采样定理告诉我们，采样频率要大于信号频率的两倍，这些我就不在此罗嗦了。
采样得到的数字信号，就可以做FFT变换了。N个采样点，经过FFT之后，就可以得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT运算，通常N取2的整数次方。
假设采样频率为Fs，信号频率F，采样点数为N。根据FFT的公式（自行百度）那么FFT之后结果就是一个为N点的复数（MATLAB中FFT的结果是一个关于N的函数，表示的是N和幅度关系的函数）。每一个点就对应着一个频率点。这个点的模值，就是该频率值下的 幅度特性。当然这里的幅度肯定不是和原来时域信号的幅度是一样的。而是由一个 线性对应关系的。具体什么关系呢？先说结论，下面再证明：假设原始信号的峰值为A，那么FFT的结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。 而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。
例如某点n所表示的频率为：。由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到频率为 Fs/N，如果采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辨到1Hz。1024Hz的采样率采样1024点，刚好是1秒，也就是说，采样1秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到1Hz，如果采样2秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到0.5Hz。如果要提高频率分辨力，则必须增加采样点数，也即采样时间。频率分辨率和采样时间是倒数关系。
假设FFT之后某点n用复数a+bi表示，那么这个复数的模就是，相位就是。根据以上的结果，就可以计算出n点（n≠1，且n<=N/2）对应的信号的表达式为：，即。对于n=1点的信号，是直流分量，幅度即为A1/N。由于FFT结果的对称性，通常我们只使用前半部分的结果，即小于采样频率一半的结果。
好了，说了半天，看着公式也晕，下面以一个实际的信号来做说明。
假设我们有一个信号，它含有2V的直流分量，频率为50Hz、相位为-30度、幅度为3V的交流信号，以及一个频率为75Hz、相位为90度、幅度为1.5V的交流信号。用数学表达式就是如下：
S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)
式中cos参数为弧度，所以-30度和90度要分别换算成弧度。我们以256Hz的采样率对这个信号进行采样，总共采样256点。按照我们上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，我们可以知道，每两个点之间的间距就是1Hz，第n个点的频率就是n-1。我们的信号有3个频率：0Hz、50Hz、75Hz，应该分别在第1个点、第51个点、第76个点上出现峰值，其它各点应该接近0。实际情况如何呢？
我们来看看FFT的结果的模值如图所示。
图1 FFT结果
从图中我们可以看到，在第1点、第51点、和第76点附近有比较大的值。我们分别将这三个点附近的数据拿上来细看：
1点： 512+0i
2点： -2.6195E-14 - 1.4162E-13i
3点： -2.8586E-14 - 1.1898E-13i
50点：-6.2076E-13 - 2.1713E-12i
51点：332.55 - 192i
52点：-1.6707E-12 - 1.5241E-12i
75点：-2.2199E-13 -1.0076E-12i
76点：3.4315E-12 + 192i
77点：-3.0263E-14 +7.5609E-13i
很明显，1点、51点、76点的值都比较大，它附近的点值都很小，可以认为是0，即在那些频率点上的信号幅度为0。接着，我们来计算各点的幅度值。分别计算这三个点的模值，
结果如下：
1点： 512
51点：384
76点：192
按照公式，可以计算出直流分量为：512/N=512/256=2；50Hz信号的幅度为：384/(N/2)=384/(256/2)=3；75Hz信号的幅度为192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可见，从频谱分析出来的幅度是正确的。
然后再来计算相位信息。直流信号没有相位可言，不用管它。先计算50Hz信号的相位，atan2(-192, 332.55)=-0.5236,结果是弧度，换算为角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再计算75Hz信号的相位，atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧度，换算成角度180*1.5708/pi=90.0002。可见，相位也是对的。
根据FFT结果以及上面的分析计算，我们就可以写出信号的表达式了，它就是我们开始提供的信号。
总结：假设采样频率为Fs，采样点数为N，做FFT之后，某一点n（n从1开始）表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N；该点的模值除以N/2就是对应该频率下的信号的幅度（对于直流信号是除以N）；该点的相位即是对应该频率下的信号的相位。相位的计算可用函数atan2(b,a)计算。atan2(b,a)是求坐标为(a,b)点的角度值，范围从-pi到pi。要精确到xHz，则需要采样长度为1/x秒的信号，并做FFT。要提高频率分辨率，就需要增加采样点数，这在一些实际的应用中是不现实的，需要在较短的时间内完成分析。解决这个问题的方法有频率细分法，比较简单的方法是采样比较短时间的信号，然后在后面补充一定数量的0，使其长度达到需要的点数，再做FFT，这在一定程度上能够提高频率分辨力。
具体的频率细分法可参考相关文献。
[附录：本测试数据使用的matlab程序]
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Adc=2; %直流分量幅度
A1=3; %频率F1信号的幅度
A2=1.5; %频率F2信号的幅度
F1=50; %信号1频率(Hz)
F2=75; %信号2频率(Hz)
Fs=256; %采样频率(Hz)
P1=-30; %信号1相位(度)
P2=90; %信号相位(度)
N=256; %采样点数
t=[0:1/Fs:N/Fs]; %采样时刻
%信号
S=Adc+A1*cos(2*pi*F1*t+pi*P1/180)+A2*cos(2*pi*F2*t+pi*P2/180);
%显示原始信号
plot(S);
title('原始信号');
figure;
Y = fft(S,N); %做FFT变换
Ayy = (abs(Y)); %取模
plot(Ayy(1:N)); %显示原始的FFT模值结果
title('FFT 模值');
figure;
Ayy=Ayy/(N/2); %换算成实际的幅度
Ayy(1)=Ayy(1)/2;
F=([1:N]-1)*Fs/N; %换算成实际的频率值
plot(F(1:N/2),Ayy(1:N/2)); %显示换算后的FFT模值结果
title('幅度-频率曲线图');
figure;
Pyy=[1:N/2];
for i="1:N/2"
Pyy(i)=phase(Y(i)); %计算相位
Pyy(i)=Pyy(i)*180/pi; %换算为角度
end;
plot(F(1:N/2),Pyy(1:N/2)); %显示相位图
title('相位-频率曲线图');
注：实际中如果需要去除直流分量，不应该仅仅除去第一个点的零频率的直流分量 ，实际分析发现2时是个临街点 处于下降沿 所以改成第三个点。