数字滤波器基础学习

一、数字滤波器的结构特点与表示方法
数字滤波器是数字信号处理的一个重要组成部分。数字滤波实际上是一种运算过程，其功能是将一组输入的数字序列通过一定的运算后转变为另一组输出的数字序列，因此它本身就是一台数字式的处理设备。数字滤波器一般可以用两种方法实现：一种是根据描述数字滤波器的数学模型或信号流图，用数字硬件装配成一台专门的设备，构成专用的信号处理机；另一种方法就是直接利用通用计算机，将所需要的运算编成程序让计算机来执行，这也就是用软件来实现数字滤波器。
数字滤波器是离散时间系统，所处理的信号是离散时间信号。一般时域离散系统或网络可以用差分方程、单位脉冲响应以及系统函数进行描述。如果系统输入、输出服从N阶差分方程:
（1-1）
则其系统函数，即滤波器的传递函数为：
（1-2）
为了用专用硬件或软件实现对输入信号的处理，需要把式（1-1）或者（1-2）变成一种算法。对于同一个系统函数H(z)，对输入信号的处理可实现的算法有很多种，每一种算法对应于一种不同的运算结构(网络结构)。例如：
（1-3）
观察式(1-3)可知，对应于每一种不同的运算结构，我们都可以用三种基本的运算单元：乘法器、加法器和单位延时器来实现。这三种基本运算单元的常用流图表示方法如图1-1所示。

图1-1 三种基本运算的流图

二、IIR滤波器的结构

1、直接型（I型）
一个N阶的IIR滤波器的输入输出关系可以用如式（1-1）所示的N阶的差分方程来描述。把式（1-1）重写如下：

从这个差分方程表达式可以看出，系统的输出y(n)由两部分构成：第一部分是一个对输出y(n)的N阶延时链的横向结构网絡，是由输出到输入的反馈网络。由这两部分相加构成输出，取M=N可得其结构图如图1-2。从图上可以看出，直接型结构需要2N个延时器和2N+1个乘法器。

图1-2 直接I型结构

2、直接II型
直接II型结构又称为正准型结构。由图1-2，直接I型结构的系统函数H(z)也可以看成是两个独立的系统函数的乘积。输入信号x(n)先通过系统H1(z)，得到中间输出变量y1(n)，然后再把y1(n)通过系统H2(z)得到输出信号y(n)。即

对应的差分方程为:

假设所讨论的IIR数字滤波器是线性非时变系统，显然交换H1(z)和H2(z)的级联次序不会影响系统的传输效果，即

若系统函数H(z)的分子阶数和分母阶数等，即M=N时， 其结构如图1-3所示。
输入信号x(n)先经过反馈网络H2(z),得到中间输出变量

然后，将y2(n)通过系统H1(z)，得到系统的输出y(n)

结构图1-3中有两条完全相同的对中间变量y2(n)进行延迟的延时链，我们可以合并这两条延时链，得到如图1- 4所示的直接II型结构( 图中取M=N)。
比较图1-2和图1-4可知：直接II型比直接I型结构延时单元少，用硬件实现可以节省寄存器，比直接I型经济；若用软件实现则可节省存储单元。但对于高阶系统直接型结构都存在调整零、极点困难，对系数量化效应敏感度高等缺点。

图1-3 直接I型的变形结构

图 1-4 直接II型结构

3、级联型
若把式(1-2)描述的N阶IIR滤波器的系统函数H(z)的分子和分母分别进行因式分解，得到多个因式连乘积的形式
（1-4）
式中：A为常数，ci和di分别表示H(z)的零点和极点。由于H(z)的分子和分母都是实系数多项式，而实系数多项式的根只有实根和共轭复根两种情况。将每一对共轭零点(极点)合并起来构成一个实系数的二阶因子，并把单个的实根因子看成是二次项系数等于零的二阶因子，则可以把H(z)表示成多个实系数的二阶数字网络Hj(z)的连乘积形式，如式(1-5)所示：
（1-5）
式中：

若每一个实系数的二阶数字网络的系统函数Hj(z)的网络结构均采用前面介绍的直接II型结构，则可以得到系统函数H(z)的级联型结构，如图1-5所示。

图 1-5 级联型结构
4、并联型
把传递函数H(z)展开成部分分式之和的形式，就可以得到滤波器的并联型结构。当N=M时，展开式为

和级联型结构的方法类似，将上式中的共轭复根部分两两合并得到实系数的二阶网络，则有

式中，N = E + 2F。
并联型结构也可以单独调整极点位置，但对于零点的调整却不如级联型方便，而且当滤波器的阶数较高时，部分分式展开比较麻烦。在运算误差方面，由于各基本网络间的误差互不影响，没有误差积累，因此比直接型和级联型误差稍小一点。

图 1-6 并联型结构

三、FIR滤波器的结构
1、直接型
设FIR数字滤波器的单位脉冲响应h(n)的长度为N，其传递函数和差分方程分别为：
（1-7）
（1-8）
根据式(1-7)或式(1-8)可直接画出如图1-7所示的FIR滤波器的直接型结构。由于该结构利用输入信号x(n)和滤波器单位脉冲响应h(n)的线性卷积来描述输出信号y(n)，所以FIR滤波器的直接型结构又称为卷积型结构，有时也称为横截型结构。

图 1-7 FIR的直接型结构
2、级联型
当需要控制系统传输零点时，将传递函数H(z)分解成二阶实系数因子的形式：


图 1-8 FIR的级联型结构
3、频率采样型
由频域采样定理可知，对有限长序列h(n)的Z变换H(z)在单位圆上做N点的等间隔采样，N个频率采样值的离散傅里叶反变换所对应的时域信号hN(n)是原序列h(n)以采样点数N为周期进行周期延拓的结果，当N大于等于原序列h(n)长度M时hN(n)=h(n)，不会发生信号失真，此时H(z)可以用频域采样序列H(k)内插得到，内插公式如下:
（1-10）
式中：
其中，k=0，1，2，…，N-1

图 1-10 FIR滤波器的频率采样型结构
FIR滤波器的频率采样型结构的主要优点：首先，它的系数H(k)直接就是滤波器在w=2radk/N处的响应值，因此可以直接控制滤波器的响应；此外，只要滤波器的N阶数相同，对于任何频响形状，其梳状滤波器部分的结构完全相同，N个一阶网络部分的结构也完全相同，只是各支路的增益H(k)不同，因此频率采样型结构便于标准化、模块化。但是该结构也有两个缺点:
(1) 该滤波器所有的系数H(k)般为复数，复数相乘运算实现起来较麻烦。
(2)系统稳定是靠位于单位圆上的N个零极点对消来保证的，如果滤波器的系数稍有误差，极点就可能移到单位圆外，造成零极点不能完全对消，影响系统的稳定性。
4、快速卷积型
根据圆周卷积和线性卷积的关系可知，两个长度为N的序列的线性卷积，可以用这两个序列的2N-1点的圆周卷积来实现。由FIR滤波器的直接型结构：滤波器的输出信号y(n)是输入信号x(n)x(m)和滤波器单位脉冲响应h(n)的线性卷积。所以，对有限长序列x(n)，我们可以通过补零的方法延长x(n)和h(n)序列，然后计算它们的圆周卷积，从而得到FIR系统的输出y(n)。利用圆周卷积定理，采用FFT实现有限长序列x(n)和h(n)的线性卷积，则可得到FIR滤波器的快速卷积结构，如图1-13所示。 图中L>=N+M-1，M为x(n)的长度。N为h(n)的长度。

图 1-13 FIR的快速卷积型结构