浙大数据结构与算法慕课随手记：第三讲 树（上）

3.1 树与树的表示

分层次组织管理效率更高
数据管理基本操作：查找
静态查找：数组
方法1：顺序查找（哨兵值）O(n)
方法2：二分查找（有序+连续存储，left right mid，一般是向下取整）O(logn)
*二分查找的启示：判定树
1.每个结点的查找次数=该结点所在层数
2.查找次数≤判定树的深度
3.n个结点判定树的深度=[log2n]+1
4.ASL平均成功查找次数=总次数/总元素数
动态查找：有插入删除，查找树

树的定义：n个结点构成的有限集合，递归
n=0空树，n>0非空树
根结点Root+互不相交的子树SubTree
除Root外，每个结点有且仅有一个父结点
N个结点的树有N－1条边（最小连通方式）

树的术语：
结点的度Degree（结点的子树个数）、树的度（所有结点最大的度数）
叶结点（度=0）、父结点、子结点、兄弟结点（同一父结点）
路径和路径长度（边的个数）、祖先结点、子孙结点
结点层次Level（根结点在1层，后续+1）、树的深度/高度Depth（最大层次）

树的表示：
儿子－兄弟表示法（结构统一的链表）

旋转45度得到二叉树（度=2）Left Right（最重要的树结构）

3.2 二叉树及存储结构

定义：
二叉树T：一个有穷的结点集合；若不为空，由根结点、左子树、右子树组成
相当于度=2的树，但有左右之分
五种基本形态；特殊形态：斜二叉树（≈链表）、完美/满二叉树、完全二叉树（满二叉树的叶结点可以从右向左空缺，使编号连续）

性质：
（1）第i层的最大结点数=2^(i-1)
（2）深度=k，最大结点总数=2^k-1
（3）对非空二叉树，叶结点数N0=度为2非叶结点数N2+1（可用向下/上的边数证明）

操作：
判别是否空、创建、遍历

存储结构：

• 顺序存储：完全二叉树（上下－左右），数组下标
  非根结点i的父结点=[i/2]
  结点i的左右子结点=2i、2i+1(≤n)
• 链表存储：一般二叉树（节省空间）
  Left－Data－Right

3.3 二叉树的遍历

1.先序、中序、后序（序=根的顺序，递归遍历左右子树）
遍历过程中经过结点的路线一样，只是访问各结点的时机不同
每个结点有三次访问时机－先中后

2.中序非递归遍历（堆栈实现）
结点压栈－遍历左子树－弹出结点并访问－遍历右子树
*先序、后序也可实现

3.层序遍历（上下－左右）
二叉树遍历本质：二维结构线性化
访问左儿子后，需要存储结构保存暂时不访问的结点：堆栈（父结点）/ 队列（右儿子）
*层序遍历的队列实现：根结点入队→结点出队、访问该结点、左右儿子入队（循环）

应用：
例1：输出叶结点
先序遍历框架，增加判断左右子树是否均为空即可
例2：求二叉树高度
后序遍历框架，=左右子树的最大高度+1（递归）
例3：二元运算表达式树及其遍历
运算数=叶结点，运算符号=非叶结点
先序－前缀表达式
中序－中缀表达式（不准确，受运算符号优先级影响，可通过加括号输出解决）
后序－后缀表达式
例4：由两种遍历序列确定二叉树
中序+先序/后序→确定唯一二叉树，先+后不行（左右不明）
先序+中序：先序根结点→在中序中分解出左右子树→对左右递归继续分解
*先序=中序：无左子树

小白专场：树的同构

数的同构：一棵树可以通过若干次左右子树互换变为另一棵（不可越层互换）
求解思路：
1.二叉树表示：链表/数组（当做完全二叉树），结构数组（物理）=静态链表（思想）
2.建二叉树：未出现过的编号=根结点
3.同构判别：特例+分类讨论+递归（逻辑要严密，不能遗漏情况）