FFT及其框图实现

$FFT$及其框图实现

  基$2$时域抽取
  基$2$频域抽取

  $FFT$的全称为快速傅里叶变换，但是$FFT$并不是一种变换，而是实现$DFT$的一种快速算法。当$N$比较大时，使用$FFT$可大大减少进行$DFT$变换的计算量。

  $N$点的$DFT$所需的计算量为:
$$X[k]=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]W_N^{kn}$$
乘法:$N^2$次，加法:$N(N-1)$次。每当$N$提高一倍，计算量增大四倍。

基$2$时域抽取

  假设有一长度为$2N$的有限长序列$x[n]$，现对其进行$DFT$变换，现有一算法可以将$2N$点的$DFT$计算降为$N$的$DFT$计算，如下:
  记$g[n]$为$x[n]$的下标为偶数时的序列，即$g[n]=x[2n],0\le n\le N-1$,记$v[n]$为$x[n]$的下标为奇数时的序列，即$v[n]=x[2n+1],0\le n\le N-1$,则
$$\begin{array}{rl}X[k]& =\sum _{n=0}^{2N-1}x[n]W_{2N}^{kn}\\ & =\sum _{n=0}^{N-1}x[2n]W_{2N}^{k2n}+\sum _{n=0}^{N-1}x[2n+1]W_{2N}^{k(2n+1)}\\ & =\sum _{n=0}^{N-1}g[n]W_N^{kn}+W_{2N}^k\sum _{n=0}^{N-1}v[n]W_N^{kn}\\ & =G[<k{>}_N]+W_{2N}^{k}V[<k{>}_N],0\le k\le 2N-1\end{array}$$
当$0\le k\le N-1$时
$$X[k]=G[k]+W_{2N}^{k}V[k]$$
当$N\le k\le 2N-1$时
$$X[k]=G[<k{>}_N]+W_{2N}^{k}V[<k{>}_N]\stackrel{k=m+N}{}G[m]-W_{2N}^{m}V[m],0\le m\le N-1$$
其中$g[n]$和$v[n]$的$DFT$都是$N$点的。

  两个$N$点的$DFT$的运算量(以乘法为例)为$2N^2$,而一个$2N$点的$DFT$运算量为$4N^2$,计算量减少了一半!如果$N=2^r$,则可以一直降下去，从而大大的减少了计算量。通过计算，可以知道此时的计算量为:乘法:$\frac{N}{2}lo{g}_{2}N$,加法:$Nlo{g}_{2}N$。

  下面以8点的$DFT$为例,其实现框图为:

基$2$频域抽取

  依然对于$2N$点的序列$x[n]$进行$DFT$计算，这次将$x[n]$分为前后两部分，即$g[n]$为$x[n]$的前$N$个点,即$g[n]=x[n],0\le n\le N-1$,$v[n]$为$x[n]$的后$N$个点，即$v[n]=x[n+N],0\le n\le N-1$,则:
$$\begin{array}{rl}X[k]& =\sum _{n=0}^{2N-1}x[n]W_{2N}^{kn}\\ & =\sum _{n=0}^{N-1}x[n]W_{2N}^{kn}+\sum _{n=N}^{2N-1}x[n]W_{2N}^{kn}\\ & =\sum _{n=0}^{N-1}x[n]W_{2N}^{kn}+\sum _{m=0}^{N-1}x[m+N]W_{2N}^{k(m+N)}\\ & =\sum _{n=0}^{N-1}g[n]W_{2N}^{kn}+(-1{)}^k\sum _{n=0}^{N-1}v[n]W_{2N}^{kn}\end{array}$$
对其进行频域抽取
$$X[2r]=\sum _{n=0}^{N-1}g[n]W_{2N}^{2rn}+\sum _{n=0}^{N-1}v[n]W_{2N}^{2rn}=G[k]+V[k],0\le r\le N-1$$
$$X[2r+1]=\sum _{n=0}^{N-1}g[n]W_{2N}^{(2r+1)n}-\sum _{n=0}^{N-1}v[n]W_{2N}^{(2r+1)n}=W_{2N}^n(G[k]-V[k])$$
该算法也将$2N$点的$DFT$降为了2个$N$点的$DFT$。

  将上面时域抽取的实现框图中所有的$x[n]$换成$X[k]$,然后所有箭头反向，即输入变输出，输出变输入，得到的框图就是频域抽取实现的框图，由于我画不动了，我就不画了，等哪天有时间了再补上。