迪杰斯特拉算法（Dijkstra）证明

首先，这篇文章是在讲《图论》时候写文章

（所以，还是以理论为主，以后有空的时候，会把代码发上来，不过我觉得大家看完理论，如果讲得好，代码也就比较容易了。如果讲得不好，网上的代码也是大把，不看这篇文章也罢了）

下图为老师的课件内容部分，我觉得虽然详尽，但也有些枯燥。可能是为了凝练语言吧。如果有耐心看的话，倒真的是一篇非常好的文章。（反正这个应该是比百度百科要强的….）
我在后面会用自己的语言阐述，可能会比较清晰（但废话可能也比较多）。

其中前面的黄色部分是我自己标注的（老师写的），后面的黄色部分是我自己写的。

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阐述

1. 首先，选定一个点 v0 v 0 ，先假设所有的点到某个点的路径都是无穷（当然自己到自己肯定得是长度是0….）。
2. 然后确定一个集合 S S ，这集合表示已经被访问的过点。（那么没有被访问过的点，也是很容易解决的….），这里用个bool数组什么的标记一下吧。
3. 之后，先更新所有点到这个 v0 v 0 的距离。怎么更新呢？
4. 所有点通过已经被访问过的点到达 v0 v 0 的距离，在结合 d(v0,vi)=minif−vi−in−(V−S)(d(v0,vj)+w(vj,vi)) d ( v 0 , v i ) = m i n i f − v i − i n − ( V − S ) ( d ( v 0 , v j ) + w ( v j , v i ) ) 。就是在中间搭一个桥，如果，通过这个桥的点会让这个路变得更近，就更新这个路径的长度。
5. 然后选个最近的点，然后把这个最近的点标记访问过。纳入到集合 S S
6. 然后，一直到把所有的点都纳入进去之后，就没什么事情了~

这里面，有很多的问题，乍一看都是有点合情合理，但是却让人一下子想不明白的。
归结到一条，就是，为什么这样子，就能保证一定会是得到了所有的点，到这个点 v0 v 0 的最短距离呢？

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证明（不严格的证明）

1. 首先，我们能保证，拿到的第一个点，一定是跟 v0 v 0 最近的点。因为，首先我们选择的是与 v0 v 0 直接相连的点中到 v0 v 0 最近的点。如果之后的选的方法得到点，有能够得到的点到 v0 v 0 的距离小于一开始选的这个点的话，这是不科学的。因为，我们每次选点，都是根据我们维护的一个数组。这个数组的变化过程是，以这个数组中很早就被选中的点的为中转的点，然后，再加上这个中转的点到这个的点的距离，来替代的。但是，我们知道，任意两点的距离都是大于0的，那么，更新的基本算法是“加法”那么更新之后， 怎么可能得到的数是比之前的数要小呢？
2. 同样的道理，第二次被选的点，一定是比以后要选的点都要更近 v0 v 0 一点。（最多是相等）。有没有一种感觉，就跟堆排序的方法是一样的。每次，都是把距离 v0 v 0 最近的点给“生产”出来了。然后不断迭代出所有与v0的点更近的点。

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证明（较为严格的证明）

通过归纳法

(1) i=0 i = 0
首先，还是一样，根据上面的方式，来依次产生出这些点。这是一个序列，称其为 V=v0,v1,v2,....,vn V = v 0 , v 1 , v 2 , . . . . , v n 这n个点。 vi v i 对应的距离就是 di d i 。

(2) 设 i<=k i <= k 时成立，下面看 i=k+1 i = k + 1 的情况

vi v i 通过上述方法生成的点，所得到的到 v0 v 0 的距离不是最近的，也就是说，还存在一条路，使得 vi v i 到 v0 v 0 的距离小于 di d i 。
由于， di d i 的产生方法，我们可以知道，这样的点，必定通过了后面的点（ vi>=k+2 v i >= k + 2 ）。但是，我们同样知道 vi>=k+2 v i >= k + 2 到 v0 v 0 的距离一定是会大于 vi<=k v i <= k 的。（递增的特点）。所以，只要是通过了后面的点，到达 v0 v 0 的距离，一定是小于等于，我们只通过前面的点 vi<=k v i <= k 到达所致的。但是，这与我们之前的假设有矛盾。这样我们就知道了， i=k+1 i = k + 1 时候也是成立的！

综上所述……