图-弗洛伊德（FloydWarshall）算法详解（含全部代码）
目录
适用条件
基本操作函数
功能实现函数
测试使用图
算法讲解
初始化
迭代
弗洛伊德算法代码
全部代码
实验结果
最短路径算法比较
适用条件
图中可以有负权，但不能有负圈（圈中弧或边的权值之和小于0）
基本操作函数
- InitGraph(Graph &G) 初始化函数 参数：图G 作用：初始化图的顶点表，邻接矩阵等
- InsertNode(Graph &G,VexType v) 插入点函数 参数：图G,顶点v 作用：在图G中插入顶点v,即改变顶点表
- InsertEdge(Graph &G,VexType v,VexType w) 插入弧函数 参数：图G,某弧两端点v和w 作用：在图G两点v,w之间加入弧，即改变邻接矩阵
- Adjancent(Graph G,VexType v,VexType w) 判断是否存在弧(v,w)函数 参数：图G，某弧两端点v和w 作用：判断是否存在弧(v,w)
- BFS(Graph G, int start) 广度遍历函数 参数：图G,开始结点下标start 作用：宽度遍历
- DFS(Graph G, int start) 深度遍历函数（递归形式）参数：图G,开始结点下标start 作用：深度遍历
- Dijkstra(Graph G, int v) 最短路径 - Dijkstra算法 参数：图G、源点v
- Bellman_Ford(Graph G, int v) 最短路径 - Bellman_Ford算法 参数：图G、源点v 作用：计算不含负圈图的最短路径 返回是否有圈
- Floyd_Wallshall(Graph G) 最短路径 - Floyd_Wallshall算法 参数：图G 作用：计算不含负圈图的最短路径 返回是否有圈
功能实现函数
- CreateGraph(Graph &G) 创建图功能实现函数 参数：图G InsertNode 作用：创建图
- BFSTraverse(Graph G) 广度遍历功能实现函数 参数：图G 作用：宽度遍历
- DFSTraverse(Graph G) 深度遍历功能实现函数 参数：图G 作用：深度遍历
- Shortest_Dijkstra(Graph &G) 调用最短路径-Dijkstra算法 参数：图G、源点v
- Shortest_Bellman_Ford(Graph &G) 调用最短路径- - Bellman_Ford算法 参数：图G
- Shortest_Floyd_Wallshall(Graph &G) 调用最短路径- - Floyd_Wallshall算法 参数：图G
测试使用图
测试使用图
算法讲解
初始化
表格行为i,列为j。D及P后小括号内的值为迭代次数。
D矩阵主对角线为0，其余与邻接矩阵相同。
P矩阵存-1，在输出最短路径时作为递归出口。
迭代
D矩阵的状态转移方程：D(m)[i][j]=min{D(m-1)[i][j],D(m-1)[i][k]+D[k][j]},0< 思路：添加一个点Vk,找到Vk的入弧Vi->Vk，再找到Vk的出弧,Vk->Vj，比较D[i][j]与D[i][k]+D[k][j]的大小。 若D矩阵有更新，则对应P矩阵的值为更新处最短路径第一条弧的终点。 D(1) P(1) D(2) 加入点V0，V0的入弧有V1->V0与V3->V0，出弧有V0->V1与V0->V2。 经比较D(1)[3][2]>D(1)[3][0]+D(1)[0][2]，6>5-3=2，所以，将6更新为2。 P(2) P(2)[3][2]由P(1)[3][2]改为0，因为最短路径为V3->V0->V2，第一条弧的终点为V0。 D(3) 0 加入点V1，V1入弧有V0->V1，V2->V1以及V3->V1，出弧有V1->V2,V1->V0。 经比较,D(2)[2][0]>D(2)[2][1]+D(2)[1][0]，∞>10-3=7，所以，将∞更新为7。 D(2)[3][0]>D(1)[3][1]+D(2)[1][0]，5>6-3=3，所以，将5更新为3。 D(2)[3][2]>D(1)[3][1]+D(2)[1][2]，2>6-7=-1，所以，将2更新为-1。 P(3) P(3)[2][0]改为1，因为最短路径为V2->V1->V0，第一条弧的终点为V1。 P(3)[3][0]改为1，因为最短路径为V3->V1->V0，第一条弧的终点为V1。 P(3)[3][2]改为1，因为最短路径为V3->V1->V2，第一条弧的终点为V1。 下面的由读者根据原理及矩阵自己补充，加深印象。 D(4) 0 P(4) D(5) 0 P(5) 注意：弗洛伊德算法的最短路径在输出时不是倒着的，我们记录的是第一条弧的终点。例如，p[2][0]=3，P[3][0]=1,P[1][0]=-1， 则V[2]到V[0]的最短路径为2->3->1->0，值为6。也就是看P矩阵的列，这是与前面两篇最短路径算法不同的地方，需注意。 O(v^3) 更多数据结构与算法实现：数据结构（严蔚敏版）与算法的实现（含全部代码） 有问题请下方评论，转载请注明出处，并附有原文链接，谢谢！如有侵权，请及时联系。
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弗洛伊德算法代码
//最短路径 - Floyd_Wallshall算法 参数：图G 作用：计算不含负圈图的最短路径 返回是否有圈
bool Floyd_Wallshall(Graph G)
{
//初始化
for (int i = 0; i全部代码
/*
Project: 图-最短路径-Bellman-Ford算法（可含有负权弧）
Date: 2019/10/24
Author: Frank Yu
基本操作函数:
InitGraph(Graph &G) 初始化函数 参数：图G 作用：初始化图的顶点表，邻接矩阵等
InsertNode(Graph &G,VexType v) 插入点函数 参数：图G,顶点v 作用：在图G中插入顶点v,即改变顶点表
InsertEdge(Graph &G,VexType v,VexType w) 插入弧函数 参数：图G,某弧两端点v和w 作用：在图G两点v,w之间加入弧，即改变邻接矩阵
Adjancent(Graph G,VexType v,VexType w) 判断是否存在弧(v,w)函数 参数：图G，某弧两端点v和w 作用：判断是否存在弧(v,w)
BFS(Graph G, int start) 广度遍历函数 参数：图G,开始结点下标start 作用：宽度遍历
DFS(Graph G, int start) 深度遍历函数（递归形式）参数：图G,开始结点下标start 作用：深度遍历
Dijkstra(Graph G, int v) 最短路径 - Dijkstra算法 参数：图G、源点v
Bellman_Ford(Graph G, int v) 最短路径 - Bellman_Ford算法 参数：图G、源点v 作用：计算不含负圈图的最短路径 返回是否有圈
Floyd_Wallshall(Graph G) 最短路径 - Floyd_Wallshall算法 参数：图G 作用：计算不含负圈图的最短路径 返回是否有圈
功能实现函数：
CreateGraph(Graph &G) 创建图功能实现函数 参数：图G InsertNode 作用：创建图
BFSTraverse(Graph G) 广度遍历功能实现函数 参数：图G 作用：宽度遍历
DFSTraverse(Graph G) 深度遍历功能实现函数 参数：图G 作用：深度遍历
Shortest_Dijkstra(Graph &G) 调用最短路径-Dijkstra算法 参数：图G、源点v
Shortest_Bellman_Ford(Graph &G) 调用最短路径- - Bellman_Ford算法 参数：图G
Shortest_Floyd_Wallshall(Graph &G) 调用最短路径- - Floyd_Wallshall算法 参数：图G
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实验结果
实验结果截图
最短路径算法比较
算法\比较内容
适用条件
算法思想
时间复杂度
Dijkstra
无负权的图，单源或多源
贪心
O(v^2)、O(v^3)
Bellman-Ford
可以有负权但无负圈的图
动态规划
O(v^3)、O(ve)
Floyd-Warshall
无负权的图，多源
动态规划