Dijkstra算法（单源最短路径）

Dijkstra算法（单源最短路径）

      单源最短路径问题，即在图中求出给定顶点到其它任一顶点的最短路径。在弄清楚如何求算单源最短路径问题之前，必须弄清楚最短路径的最优子结构性质。

一.最短路径的最优子结构性质

   该性质描述为：如果P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径，k和s是这条路径上的一个中间顶点，那么P(k,s)必定是从k到s的最短路径。下面证明该性质的正确性。

   假设P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径，则有P(i,j)=P(i,k)+P(k,s)+P(s,j)。而P(k,s)不是从k到s的最短距离，那么必定存在另一条从k到s的最短路径P'(k,s)，那么P'(i,j)=P(i,k)+P'(k,s)+P(s,j)

二.Dijkstra算法

   由上述性质可知，如果存在一条从i到j的最短路径(Vi.....Vk,Vj)，Vk是Vj前面的一顶点。那么(Vi...Vk)也必定是从i到k的最短路径。为了求出最短路径，Dijkstra就提出了以最短路径长度递增，逐次生成最短路径的算法。譬如对于源顶点V0，首先选择其直接相邻的顶点中长度最短的顶点Vi，那么当前已知可得从V0到达Vj顶点的最短距离dist[j]=min{dist[j],dist[i]+matrix[i][j]}。根据这种思路，

假设存在G=，源顶点为V0，U={V0},dist[i]记录V0到i的最短距离，path[i]记录从V0到i路径上的i前面的一个顶点。

1.从V-U中选择使dist[i]值最小的顶点i，将i加入到U中；

2.更新与i直接相邻顶点的dist值。(dist[j]=min{dist[j],dist[i]+matrix[i][j]})

3.知道U=V，停止。

运行截图:

代码实现:

#include
#include
using namespace std;

const int N=100;
const int MAX_INT=999999;
typedef struct node{
	int matrix[N][N];
	int n;//¶¨µãÊý
	int e;//±ßÊý
}MGraph;

//path£º×îÖյõ½°üº¬n¸ö¶¥µãµÄ·¾¶£¬ÀýÈç:path[5]=7±íʾ5µÄÇ°Ò»¸öÕ¾µãÊÇ7¡£
//grap£º±íʾͼ£¬°üº¬¸÷¶Ëµã¼ä¾àÀ룬ºÍ¶ËµãÊý¡¢±ßÊý
//distance:×îÖյõ½´ÓÔ­µãµ½´ï¸ÄµãµÄ×Ü·³Ì£¬Èçdistance[5]=12,±íʾ´ÓÔ­µãµ½¶Ëµã5µÄ×Ü·³Ì12
//start£ºÔ­µã
void dijkstra(int* path,MGraph grap,int* distance,int start){
	int i=0,j=0,k=0;
	//±íʾ¸÷¶ËµãÊÇ·ñ±»·ÃÎÊ
	bool* visited=(bool*)malloc(sizeof(bool)*grap.n);
	path[start]=start;
	distance[start]=0;
	
	for(;i0&&i!=start){
			distance[i]=grap.matrix[start][i];//³õʼΪԭµãºÍµ±Ç°µãÖ±½Ó¾àÀë
			path[i]=start;//ÿ¸ö¶ËµãµÄÇ°Ò»¶Ëµã³õʼΪԭµã
		}else{
			distance[i]=MAX_INT;//ÈôÔ­µãºÍµ±Ç°µãÎÞÁ¬½Ó£¬³õʼΪÎÞÇî´ó¡£
			path[i]=-1;//³õʼǰһ½ÚµãΪ¿Õ
		}
		visited[i]=false;//³õʼΪ¾ùû·ÃÎʹý
		distance[start]=0;
	}
	
	visited[start]=true;
	for(i=0;i0&&grap.matrix[u][k]+min stack;
	while(start!=end){
		stack.push(end);
		end=path[end];	
	}
	stack.push(start);

	cout<<"¶Ëµã"<>n>>e;
	int * dist=(int*)malloc(sizeof(int)*n);
	int * path=(int*)malloc(sizeof(int)*n);
	g.n=n;
	g.e=e;
	//³õʼ»¯¸÷µã¼ä¾àÀëΪ¿Õ¡£
	int i,j;
	for(i=0;i>v1>>v2>>w;
		g.matrix[v1][v2]=w;
	}
	cout<<"ÊäÈëÔ­µã£º";
	cin>>start;

	dijkstra(path,g,dist,start);

	for(i=0;i