问题: Schrodinger方程的非齐次Strichartz估计

考虑Schrodinger方程

\[i\partial_t u+\Delta u=f, \quad u(x,0)=0\]

其中$(x,t)\in \mathbf{R}^d\times \mathbf{R}$. 记$S(t)=e^{it\Delta}=\mathscr{F}^{-1}e^{it|\xi|^2}\mathscr{F}$, 则上面非齐次Schrodinger方程的解可以写成$u=Af=\int_0^tS(t-s)[f(\cdot,s)](x)ds$. 考虑非齐次的Strichartz估计:

\[\|Af\|_{L_t^qL_x^r(\mathbf{R}^d\times \mathbf{R})}\leq C\|f\|_{L_t^{\tilde q'}L_x^{\tilde r'}(\mathbf{R}^d\times \mathbf{R})}.  \qquad  (1)\]

一个著名的open问题是:

问题: (1)成立的$(q,r,\tilde q,\tilde r)$最佳范围是什么? $p'$表示共轭指标.

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