数据结构之排序心得

算法的稳定性：如果待排序的两个元素Ri,Rj,其对应的关键字keyi=keyj,且在排序前Ri在Rj的前面，如果排序后Ri还在Rj的前面，则称这种排序算法是稳定的，否则称排序算法是不稳定的。内部排序和外部排序：内部排序是指在排序期间，元素全部存放在内存中的排序。外部排序是指排序期间元素无法全部同时存放在内存中，必须在排序过程中根据要求不断地在内外存之间移动的排序。1.插入排序1）插入排序：每次将一个待排序的记录，按其关键字大小插入到前面已经排好序的子序列中，直到全部记录插入完成。void InsertSort(ElemType A[], int n)
{
int i, j;
for (i = 2; i <= n; i++) //依此将A[2]~A[n]插入到前面已排序序列
if (A[i].key < A[i - 1].key) //若A[i]的关键码小于其前驱，须将A[i]插入有序表
{
A[0] = A[i]; //复制为哨兵
for (j = i - 1; A[0].key < A[j].key; --j) //从后往前查找待插入位置
A[j+1]=A[j]; //向后拖动
A[j+1]=A[0]; //复制到插入位置
}
}时间复杂度：O（n2）,空间复杂度：O(1).稳定性：稳定的排序方法。2）希尔排序：将待排序表分割成若个形如L[i，i+d，i+2d,i+3d,…i+kd]的特殊子表，分别进行直接插入排序。当整个表呈基本有序时，在对全体记录进行一次直接插入排序。过程：先去一个小于n的步长d1,把表中全部记录分成d1个组，所有距离为d1的倍数的记录放在同一组中，在各组中进行直接插入排序。然后取第二个步长d2 {
//对顺序表作希尔插入排序，和插入排序算法相比，做了以下修改：前后记录位置增量是dk，不是1.A[0]只是暂存单元，不是哨兵，j<0时，插入位置已达
for(dk=len/2;dk>=1;dk=dk/2) //步长变化
for(i=dk+1;i<=n;i++)
if (A[i].key < A[i - dk].key) //需将A[i]插入到有序增量子表
{
A[0]=A[i]; //暂存在A[0]
for (j = i - dk; j > 0 && A[0].key < A[j].key; j -= dk)
A[j+dk]=A[j];
A[j + dk] = A[0];

		}

}时间复杂度：当n在某个特定范围时为​，最坏情况下为：​，空间复杂度O(1)不稳定排序2.交换排序冒泡排序：将设待排序表长为n,从后往前两两比较相邻元素的值，若为逆序，则交换他们，直到序列比较完。此为一趟冒泡。结果为将最小的元素交换到待排序的第一个位置。下一趟冒泡时，前一趟确定的最小元素不再参与比较，待排序列减少一个元素，每趟排序吧最小元素放到最终位置，这样最多做n-1趟冒泡就把所有元素排好。void BobbleSort(ElemType A[], int n)
{
//用冒泡排序法将序列A中的元素按从小到达排列
for (i = 0; i < n - 1; i++)
{
flag = false; //表示本趟冒泡是否发生交换的标志
for (j = n - 1; j > i; j–) //一趟冒泡过程

		if (A[j - 1].key > A[j].key)//若为逆序
		{
			swap（A[j-1],[j]);   //交换
			flag = true;
		}
		if (flag == false)
			return;
}

}快速排序：快速排序是对冒泡排序的一种改进。其基本思想是基于分治法的：在待排序L[1…n]中任意取一个元素pivot作为基准，通过一趟排序将待排序表划分为独立的两部分L[1…k-1],L[k+1…n]使得L[1…k-1]中所有元素小于等于pivot,L[k+1…n]中所有元素大于pivot,则pivot则放置在最终位置上L(k),这个过程称为一趟快速排序。而后分别递归的对两个子表重复上述过程，直到每一部分内只有一个元素或空为止（所有元素放置在最终位置上）过程：首先假定划分算法已知，记为partition（），返回上述中的k,L(k)已经在最终位置上，所以可以先对表进行划分，而后对表调用同样的排序操作。递归的调用快速排序算法进行排序。程序结构如下：void QuickSort(ElemType A[], int low, int high)
{
if (low < high) //边界条件，即递归跳出的条件
{//partition() 就是划分操作，将表A[low…high]划分为满足上述条件的两个子表
int pivotpos = partition(A,low,high); //划分
QuickSort(A,low,pivotpos-1); //依此对两个子表进行递归排序
QuickSort(A,pivotpos+1,high);
}
}
//不难看出，快速排序的关键在于划分操作，性能取决于划分操作的好坏
//快速排序分治partition有两种方法1)两个下标分别从首，尾向中间扫描的方法假设每次都是以当前表中第一个元素作为枢纽值对表进行划分，则必须将表中比枢纽值大的元素向右移动，比枢纽值小的元素向左移动，使得一趟partition()操作后，表的元素被枢纽值一分为二。int partition(elemtype A[], int low, int high)
{
elemtype pivot = A[low]; //将当前表中第一个元素设为枢纽值，对表进行划分
wihle(low < high) //循环跳出条件
{
while (low < high&&A[high] >= pivot) --high;
A[low] = A[high]; //将比枢纽值小的元素移动到左端
while (low < high&&A[low <= pivot) low++;
A[high]=A[low]; //将比枢纽值大的元素移动到右端
}
A[low] = pivot; //枢纽元素存放到最终位置
return low; //返回存放枢纽的最终位置
}若初始序列3，8，7，1，2，5，6，4排序过程如下：2 8 7 1 2 5 6 42 8 7 1 8 5 6 42 1 7 1 8 5 6 42 1 7 7 8 5 6 42 1 3 7 8 5 6 4    //A[high]A[low]2）两个指针索引一前一后逐步向后扫描int partition(elemtype A[], int p, int r)
{
elemtype x = A[r]; //以最后一个元素，A[r]为主元
int i = p - 1;
for (int j = p; j <= r - 1; ++j)
{
if (A[j] <= x)
{
++i;
exchange(A[i],A[j]);
}
}
exchange(A[i+1],A[r]);
return i + 1;
}//若初始化序列3 8 7 1 2 5 6 4则排序的大致如下：
3 8 7 1 2 5 6 4 //3与3交换，不移动元素，比较一次
3 1 7 8 2 5 6 4 //8与1交换，交换依此，比较三次
3 1 2 8 7 5 6 4 //7与2交换，交换一次，比较一次
3 1 2 4 7 5 6 8 //8与4交换，交换一次，比较两次快速排序是所有内部排序算法中平均性能最优的排序算法。在快速排序算法中，并不产生有序子序列，但每一趟排序后将一个元素（基准元素）放在其最终位置上。当初始排序表基本有序或基本逆序是，就得到最坏情况下的时间复杂度O（n2）.A快排一次排序的应用A)区分数组中大小写字母（编写函数，让小写字母在所有大写字母之前）bool isUpper(char a)
{
if (a >= ‘A’&&a <= ‘Z’)
return true;
return false;
}

bool isLower(char a)
{
if (a >= ‘a’&&a <= ‘z’)
return true;
return false;
}

void partition(char A[], int low, int high) //开排一次排序第一种策略的另外一种实现
{
while (low < high)
{
while（low < high&&isUpper(A[high])）high–;
while (low < high&&islower(A[low]))low++;
char temp = A[high];
A[high]=A[low];
A[low] = temp;
}

}
void main()
{
char a[7] = {‘a’,‘A’,‘Z’,‘d’,‘B’,‘s’,‘b’};
partition(a,0,6);
} b)给定含n个元素的整型数组a,包含0和非0,对数组进行排序，使排序后满足1.排序后的所有0元素在前，非零元素在后，且非零元素排序前后相对位置不变，不能使用额外的存储空间。void partition(int A[], int p, int r)
{
int i = r + 1;
for (int j = r; j >= p; j–) //从后往前遍历，也可从前往后遍历
{
if (A[j] != 0)
{
–i;
int temp = A[i];
A[i]=A[j];
A[j] = temp;
}
}
}
void main()
{
int a[7] = {0,3,0,2,1,0,0};
partition(a,0,6);
}c)荷兰国旗问题​while (current <= end)
{
if (array[current] == 0)
{
swap(array[current],array[begin]);
current++;
begin++;
}
else if (array[current == 1])
{
current++;
}
else
{
//array[current]==2
swap(array[current], array[end]);
end–;
}
} D)输入n个整数，输出其中最小的k个。思路1：将输入的n个数排序，这样排在最前面的k个数就是最小的k个数。思路2：假设最小的k个数中最大的为A。在快排中，先在数组中随机选择一个数字，然后调整数组中数字的顺序，使得比选中数字小的数字排在他的左边，比选中数字大的排在他的右边（快排一次）若选中的数字下表刚好是k-1(从0开始)，那么这个数字（A）加上左侧的k-1个数就是最小的k个数。如果他的小标大于k-1,则A位于他的左侧，我们可以在他的左边部分的数组中查找。若小标小于k-1，那么A应该位于他的右边，我们可以接着在他的右边部分中寻找。（发现这是一个递归问题，但是我们找到的k个数不一定是有序的）//input是输入数组，元素个数为n,output用来保存最小的k个数的数组。
void getLeastKNum(int* input, int n, int* output, int k)
{
if (input == NULL || output == NULL || k > n || n <= 0 || k <= 0）
return;
int start = 0;
int end = n - 1;
int index = partition(intput, start, end);//一次划分函数见前
while (index != k - 1)
{
if (index > k - 1)
{
end = index - 1;
index = partition(input, start, end);
}
else
{
start = index + 1;
index = partition(input, start, end);
}
}
for (int i = 0; i < k; i++)
output[i] = input[i];
} //该算法的平均时间复杂度为O(n)3.选择排序思想：每一趟在后面n-i+1(i=1,2…n-1)个待排序元素中选取关键字最小的元素，作为有序子序列的第i个元素，直到n-1趟做完，待排序元素只剩下1就不用再选了。1)简单选择排序 void SelectSort(elemtype A[], int n)
{//对表A作简单选择排序，A[]从0开始存放元素
for(i=0;i {
min=i; //记录最小元素位置
for(j=i+1;j if (A[j] min=j; //更新最小元素位置
if(min!=i)swap(A[i],A[min]); //与第i个位置交换
}
} 空间复杂度：O(1)。时间复杂度：元素移动较少不超过3（n-1）(一次swap三次元素移动)。最好移动0次（此时表已经有序）。但是元素间比较的次数与序列的初始状态无关，始终为n(n-1)/2次。时间复杂度为O（n2）.2）堆排序堆排序是一种树形选择排序方法，在排序过程中将L[1…n]视为一棵完全二叉树的顺序村粗结构。利用完全二叉树中双亲结点和孩子结点之间的内在关系，在当前无序区中选择关键字最大（或最小）的元素。堆排序的实质是构建初始堆，对初始序列建堆，就是一个反复筛选的过程。A)根据初始关键字序列（20，18，22，16，30，19）构建初始大根堆。void BuildMaxHeap(elemtype A[], int len)
{
for (int i = len / 2; i > 0; i–)
AdjustDown(A,i,len);
}
void AdjustDown(elemtype A[], int k, int len)
{//adjustDown将元素k向下进行调整，堆主要的两个函数之一，另一个adustun
A[0]=A[k]; //A[0] 暂存
for (i = 2 * k; i <= len; i = i * 2) //沿k较大的子节点向下筛选
{
if（i < len&&A[i] < A[i + 1]）
i++; //取key较大的子节点的下标
if (A[0] >= A[i]) break; //筛选结束
else
{
A[k]=A[i]; //将A【i】调到双亲结点
k = i; //修改k值，继续向下筛选
}
}
A[k] = A[0]; //被筛选结点的值放入最终位置
}在元素个数为n的序列上建堆,其时间复杂度为O(n),这说明可以在线性时间内，将一个无序数组建成一个大顶堆。B)堆排序的思想由于堆本身的特点（以大顶堆为例），堆顶元素就是最大值。输出堆顶元素后，通常将堆底元素放入堆顶，此时根节点已不满足堆的性质，将堆顶元素向下调整继续保持大顶堆性质，输出堆顶元素，重复，直到仅剩一个元素为止。void HeapSort(elemtype A[], int len)
{
BuildMaxHeap(A,len); //初始建堆
for (i = len; i > 1; i–) //n-1趟交换和建堆过程
{
swap(A[i],A[1]); //输出堆顶元素（和堆底元素交换）
adjustDown(A,1,i-1); //整理，把剩余的i-1个元素整理成堆
}
}C)堆的插入和删除删除堆顶元素时，先将堆的最后一个元素与堆顶元素交换，有序性质破坏，需要堆根结点进行向下调整。对堆进行插入操作时，先将新结点放在堆的末端，再对这个新结点执行向上调整操作，大顶堆插入操作如下图所示：​向上调整算法如下所示：D)堆排序的应用（最小k个数）输入n个整数，输出其中最小的k个.（用堆排序来解决，适合处理海量数据）思路：首先读入k个数创建一个大小为k的大顶堆，然后依此读入剩余数据，如果当前数据比大顶堆的堆顶小，则用这个数代替当前堆顶元素，并调整时期保持大顶堆性质，如果当前数据比堆顶大，则此数不可能为最小的k个整数之一，故抛弃此数。（时间复杂度:O(nlogk)） int a[n]; //数组a中存放输入的n个数
int b[k + 1];//从a中依此读入k个数a[0]…a[k-1]第一个数存在b[1]中
BuildMaxHeap(b,k);//调整b为大顶堆
for (int i = k; i < n; i++)
{
if (a[i] > a[1])
continue;
else
{
b[1] = a[i];
adjustdown(b,1,k);
}
} //当需要求最大的k个数时，只需将大顶堆换位小顶堆。 4.归并排序二路归并排序（内部排序，基于分治算法的，使用辅助空间）含义：将两个或两个以上的有序表组合成一个新的有序表。假定待排序表含有n个记录，则可视为n个有序子表，每个子表长度为1，两两归并，得到​长度为2的有序表，再两两归并…如此重复，直到合成一个长度为n的有序表为止。过程：分解：将n个元素的待排序表分成各含n/2个元素的子表，采用二路归并算法对两个子表递归的进行排序。合并：合并两个已排序的子表得到排序结果。void MergeSort(elemtype A[], int low, int high)
{
if (low < high)
{
int mid = (low + high) / 2; //对中间划分两个子序列
mergeSort(A,low,mid); //对左侧子序列进行递归排序
mergeSort(A,mid+1,high); //对右侧子序列进行递归排序
merge(A, low, mid, high);
}
}Merge()的功能时将前后相邻的两个有序表归并为一个有序表的算法。设两段有序表A【low…mid】A[mid+1…high]存放在同一顺序表中相邻的位置上，先将他们复制到辅助数组B中，每次从对应B中的两个段取出一个记录进行关键字比较，将较小者放入A中，当输入B中有一段超出其表长，则将另一段剩余部分直接复制到A中。elemtype B = (elemtype )malloc(n + 1) * sizeof(elemtype)); //辅助数组B
void Merge(elemtype A[], int low, int mid, int high)
{
//表A的两段A[low…mid]和A[mid+1…high]各自有序，将他们合并成一个有序表
for (int k = low; k <= high; k++)
B[k]=A[k]; //加A中所有元素复制到B中
for (int i=low, j = mid + 1, k = i; i <= mid&&j <= high; k++)
{
if (B[i] < B[j]) //比较B的左右两段元素
A[k] = B[i++]; //将较小的值复制到A中
else
A[k]=B[j++];
}
while (i <= mid) A[k++]=B[i++]; //若第一个表未检测完，复制
while (j <= high) A[k++] = B[j++]; //若第二表未检测完，复制
}//最后两个while循环中只有一个会执行 A)合并两个排好序的链表（连个递增排序链表，合并他们使新链表结点仍然是按照递增排序的）struct LIstNode
{
int value;
ListNode pNext;
}; //原理：二路归并排序的merge函数，递归代码如下：
ListNode mergeList(ListNode list1, ListNode list2)
{
if (list1 == NULL)
return list2;
else if (list2 == NULL)
return list1;
ListNode* pHead = NULL;
if (list1->value < list2->value)
{
pHead = list1;
phead->pNext = mergeList(list1->pNext, list2);
}
else
{
pHead = list2;
phead->pHead = mergeLIst(list1,list2->pNext);
}
return pHead;
}b)给定有序数组a,b.已知数组a末尾有足够空间容纳b,请实现将b合并到a中。函数头如下：Void merge（int a[],int b[],int n,int m）//n为数组a的元素个数，m为数组b的元素个数思路：先计算总元素个数，从数组末尾（最大元素）开始归并。void merge(int a[], int b[], int n, int m)
{
int k = m + n - 1；
int i = n - 1;
int j = m - 1;
while (i> = 0 && j >= 0)
{
if (a[i] > b[j])
{
a[k–] = a[i–];
}
else
{
a[k–] = a[j–];
}
}
while (j >= 0)
{
a[k–]=b[j–];
}
}C)原地归并排序（二叉归并排序 内部排序，不适用辅助空间）原地归并排序不需要辅助数组即可归并。关键在merge这个函数。假设有两段递增的子数组arr[begin…mid-1]和arr[mid…end],但整个数组不是递增的。其中i=begin,j=mid,k=end.​然后把i到mid-1的部分和mid到j-1的部分对调（可通过三次逆序实现）较小部分就调到前面去了，此时数组变为0 1 2 3 4 5 6 9 7 8（前面有序了，后面又是两个递增子数组，继续迭代即可） void reverse(int *arr, int n)
{ //将长度为n的数组逆序
int i = 0, j = n - 1;
while (i < j)
{
swap(arr[i],arr[j]);//将两个实参图解交换
i++;
j–;
}
}
void exchange(int *arr, int n, int i) //将含有n个元素的数组向左循环移位i个位置
{
reverse(arr,i);
reverse(arr+i,n-i);
reverse(arr, n);
}
//数组两个有序部分合并，本节图解的实现
void merge(int *arr,int begin,int mid,int end)
{
int i = begin, j = mid, k = end;
while (i < j&&j <= k)
{
int step = 0;
while (i < j&&arr[i] < arr[j])
i++;
while (j < k&&arr[j] <= arr[i])
j++;
step++;
}
//arr+i为子数组首地址，j-i为子数组元素个数，j-i-step为左循环移位个数
exchange(arr+i,j-i,j-i-step);
i = i + step;
}
void MergeSort(int *arr, int l, int r)
{
if (l < r)
{
int mid = (l + r) / 2;
MergeSort(arr,l,mid);
MergeSort(arr,mid+1,r);
merge(arr,l,mid+1,r);
}
}
void main()
{
int arr[] = {6,4,3,1,7,8,2,9,5,0};
int len = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
MergeSort(arr,0,len-1);
}D)多路归并排序（外部排序）外部排序是指大文件的排序，即待排序的记录存储在外部存储器上，待排序的文件无法一次装入内存，需要在内存和外部存储器之间进行多次数据交换，以达到排序整个文件的目的。思路：外部排序最常用的算法是多路归并排序，即将源文件分解成多个能够一次性装入内存的部分，分别把每一部分调入内存完成排序，然后对已排序的子文件进行归并排序。从二路到多路，增大k可以减少外存信息读写时间，但k个归并段中选择最小的记录需要比较k-1次，为了降低选出每个记录需要的比较次数k,引入败者数。败者树可视为一棵完全二叉树，每个叶结点存放各归并段在归并过程中当前参加比较的记录，内部结点用来记忆左右子树中的失败者，让胜者网上继续进行比较，一直到根节点。如果比较两个数，大的为失败者，小的为胜利者，则根节点指向的数为最小数。​图中第一个叶子结点为b0.k路归并的败者树深度为​，因此k个记录中选择最小关键字，最多需要​次比较，比依此比较的k-1次小得多。案例：有20个有序数组，每个数组有500个unsigned int元素，降序排序。要求从这10000个元素中选出最大的500ge.思路：依此从20个有序数组中选择一个当前元素，两两比较，然后找出最大的数，循环500次，即可选择出500个最大的数。但是这里每选择一个最大元素，需要比较19次，效率低。改进方法1：利用堆，从20个数组中各取一个数，并记录每个数的来源数组，建立一个含有20个元素的大顶堆。此时堆顶就是最大元素，去除堆顶元素，并从堆顶元素的来源数组中取下一个元素加入堆，调整堆后再取最大值，一直这样进行500次即可。时间复杂度​，其中n为要选出的元素个数，k为有序数组个数。改进方法2：利用败者树。从20个数组中各取一个数，并记录每个数的来源数组，建立一个20路归并的败者树。此时败者树输出的就是最大的数，然后从最大数的来源数组继续取下一个数加入败者树，继续比较，直到输出500个数为止。时间复杂度为​其中n为要选出的元素个数，k为有序数组个数。const int branchesLength = 20;//共有20路数组
//20个一维数组，每个数组有500个元素，为叶子结点提供数据。本题只给出测试用的40个元素，输出最大的前10个元素。
int branches[branchesLength][500] = {
{1000,900} ,{999,888} ,{1001,990} ,{887,877} ,{987,978},
{1001,901} ,{992,883}, {1005,992}, {887,877}, {987,978},
{1002,902} ,{993,884}, {1007,991}, {887,877}, {987,978},
{1003,903} ,{994,882} ,{989,900} ,{887,877} ,{987,978}
};
//败者树的非叶子结点，记录数据源的索引位置，根据结点的值可以定位到所指向的数据源。
int tree[branchesLength]; //败者树的叶子结点，叶子结点和数据源是一一对应的，即第一个叶子结点记录第一个数据源的当前数据，第一个叶子结点为b0
int nodes[branchesLength];
int nodes_iterator[branchesLength] = {0};//nodes_iterator[i]记录第i路数组当前已取得第几个元素
void put(int index)//设置第index叶结点的下一个数据
{
nodes[index] = branches[index][nodes_iterator[index]++];
}
int get(int index)//获取第index个叶子结点的当前数据
{
return nodes[index];
}
//调整第index个叶子结点，具体调整为：叶子结点和父节点比较，败者留在父结点位置，胜者继续和父节点的父节点，兄弟节点比较，直到整个树的根节点。
void adjust(int index) //此函数为主要函数
{
int size = branchesLength;
int t = (size + index) / 2; //计算父节点
while (t > 0)
{
if (get(tree[t]) > get(index))
{//败者留在父节点位置
int temp = tree[t];
tree[t] = index;
index = temp;
}
t /= 2;
}
tree[0] = index;
}
vectormerge() //依此读取数据源的数据进行归并排序，返回排序后的数据列表
{
vector list1; //记录排好序的数据
int top;
int i = 0;
while (i < 10)
{//仅输出10个数据供测试
top = tree[0];
list1.push_back(top);
i++;
put(tree[0]);
adjust(tree[0]);
}
return list1;
}
void init() //初始化构建败者树
{
int size = branchesLength;
for (int i = 0; i < size; i++) //为叶子节点赋值
put(i);
int winner = 0;
for (int i = 1; i < size; i++)
{
if (get(i) < get(winner))
{
winner = i;
}
}
for (int i = 0; i < branchesLength; i++) //非叶子节点初始化为冠军节点
tree[i] = winner;
for (int i = size - 1; i >= 0; i–) //从后向前依此调整非叶子节点
adjust(i);
}
void main()
{
init();
merge();
} 不同排序算法的比较​ 总结：1.比较次数和初始排列无关的是选择排序。2.在初始序列基本有序的情况下，最优的是插入排序，此时插入排序时间复杂度为O(n),其次是冒泡排序，时间复杂度也为O(n).快速排序此时性能最差，时间复杂度为​，同时快速排序在厨师序列逆序的时候，性能也最差，时间复杂度也为​3.堆排序对初始数据集的排列顺序不敏感，在最好，最坏和平均情况下，堆排序的时间复杂度为​4.节俭排序，一对数字不进行两次或两次以上的比较。包括（插入排序，归并排序）5.基于比较的排序算法时间复杂度的下界（最好的时间复杂度）为：