矩阵特征值线性无关证明

设满秩矩阵 A 的特征值为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n$（满足约束条件 ${\lambda }_1̸={\lambda }_2̸=...̸={\lambda }_n$），对应特征向量为$x_1,x_2,...,x_n$。假设前 $n-1$ 个特征向量线性无关，第 $n$ 个特征向量与前 $n$ 个特征向量线性相关，即
$$k_1{x}_1+k_2{x}_2+...+k_n{x}_n=0$$
等式两边同时乘以矩阵 A，有
$$A{k}_1{x}_1+A{k}_2{x}_2+...+A{k}_n{x}_n=0$$
即
$${\lambda }_1{k}_1{x}_1+{\lambda }_2{k}_2{x}_2+...+{\lambda }_n{k}_n{x}_n=0$$
而因为
$$k_n{x}_n=-k_1{x}_1-k_2{x}_2-...-k_{n-1}{x}_{n-1}$$
带入可得
$$({\lambda }_1-{\lambda }_n)k_1{x}_1+({\lambda }_2-{\lambda }_n)k_2{x}_2+...+({\lambda }_{n-1}-{\lambda }_n)k_{n-1}{x}_{n-1}=0$$
因为前 $n$ 个特征向量线性无关，因此，若上式成立，必定有
$${\lambda }_1-{\lambda }_n={\lambda }_2-{\lambda }_n=...={\lambda }_{n-1}-{\lambda }_n=0$$
得
$${\lambda }_1={\lambda }_2=...={\lambda }_n$$
与假设不符，证毕。