球迷购票问题

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 P1754 球迷购票问题

题目背景

盛况空前的足球赛即将举行。球赛门票售票处排起了球迷购票长龙。

按售票处规定，每位购票者限购一张门票，且每张票售价为50元。在排成长龙的球迷中有N个人手持面值50元的钱币，另有N个人手持面值100元的钱币。假设售票处在开始售票时没有零钱。试问这2N个球迷有多少种排队方式可使售票处不致出现找不出钱的尴尬局面。

题目描述

例如当n=2是，用A表示手持50元面值的球迷，用B表示手持100元钱的球迷。则最多可以得到以下两组不同的排队方式，使售票员不至于找不出钱。

第一种:A A B B

第二种:A B A B

[编程任务]

对于给定的n (0≤n≤20),计算2N个球迷有多少种排队方式，可以使售票处不至于找不出钱。

输入格式：

一个整数，代表N的值

输出格式：

一个整数，表示方案数

输入样例#1： 2

输出样例#1： 2

说明

必开QWORD

测试：N=15

回溯:1秒（超时）

模拟栈：大于10分钟

递归算法：1秒（超时）

动态规划：0 MS

组合算法：16 MS

问题分析：

算法1：回溯法

设变量k表示售票处有50元面值的钞票的张数，初始时令，k=0；若来人拿100元的钞票且k=0，则回溯，否则继续递归，

dfs（i），i表示处理第几个人购票，当i=2n且购票成功，则计数器加一，否则继续递归查找。直到全部人员购票成功。

This is the code

#include
#include
#include
using namespace std;
long long total;
int k,n;
void dfs(int dep)
{
    if(dep==2*n)
    {
        if(!k)//表示50的余票为零，正好符合题意每种钞票的拥有人数
            total++;//计数器加一
        return ;
    }
    if(k)//表示有票，可以来一个100元的
    {
        k--;
        dfs(dep+1);
        k++;
    }
    //无论有票还是没有票，都可以来一个50元的
    k++;
    dfs(dep+1);
    k--;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    dfs(0);
    printf("%lld",total);
    return 0;
}

算法2：栈模拟

对那有50元票的人编号，用栈来模拟进出的情况，50的购票相当于进栈，100的购票相当于出栈，模拟有多少种进出栈的方式，

即出栈规则没有,且的出栈顺序，

用全排列，并判断是否符合规则即可，并加上必要的枝减

This is the code

#include
#include
#include
using namespace std;
long long total;
int date[30];
bool v[30];
int n;
bool check(int s)
{
    for(int i=1;i

3.递归算法

我们设m个人拿着50元的钞票，n个人拿着100元的钞票，分析讨论

(1). 当n==0时，意味着每个人手里都拿着票，则排列方案数为1；

(2).当m

(3).其他情况，有m+n个人买票，

当第m+n个人手里时100元的钞票时，则前面有f(m,n-1)种排列方式，

当第m+n个人手里时50元的钞票时，则前面有f(m-1,n)种排列方式，

递归公式为 

This is the code

#include
#include
using namespace std;
long long f(int m,int n)
{
    if(m

算法4：递推，（动态规划）

递归算法是由终止条件向初始条件推导，中间重复计算特别多，递推算法使用初始条件向终止条件推导，中间可以可以记录运行结果，没有多余的计算出现，相当于使用空间换时间 ，时间空间复杂度都为O(n*n);

This is the code

#include
#include
#include
using namespace std;
long long f[30][30];
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<=n;++i)//i代表m，
    {
        for(int j=0;j<=i;++j)//j代表n
            if(j)
                f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-1];
            else
                f[i][j]=1;
    }
    printf("%lld",f[n][n]);
    return 0;
}

算法5：Catalan数，

经过简单的推导，发现使用结果Catalan数，直接套用公式求解

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