高等数学-微积分和线性代数

1 微积分专题

案列:速度问题？
等价于求函数图形下的面积------》如何求各种函数图形下的面积？
dx: 先理解成有限小的微小值，然后再看成越来越小趋近零下的极限值。
df:就是在dx下的变化值；f(x)-f(x+dx);
df/dx: 即求dx趋近零下的极限值。只要有dx的地方在极限条件下忽略不计。

1.1 线性组合和复合函数的求导

加法和乘法求导法则：
复合函数链式法则：

1.2 基本函数

1.2 隐函数求导

隐函数求导是很奇怪，但一旦你把等式两边分别看做两个二元函数f(x,y)，一切就都变得合理多了。
法一：直接按照方程两边各自求导；
法二：多云函数求解

1.3 极限

由极限来定义的导数；----泰勒展开式；
极限：一个变量
极限求解的几种类型：0/0型等。

导数和原函数

微积分定理：

1.4 高阶多项式导数–泰勒定理

加速度例子来理解二阶导数；
高阶导数用来帮助我们得到函数的近似。
泰勒级数是极其强大的函数近似工具。是在某函数上某个点附近用多相似函数去近似其他函数。
级数：意思是无穷多个多项式，但是级数可以收敛，还有时发散的。
泰勒级数：利用函数某单个点的导数，来近似这个点附近函数的值。

2 线代

学习线代若是没有几何上的直观理解作为基础，可能不知道解决什么问题。
线代中计算和可视化上直观理解有相当直接的联系。形成正确的几何直观理解。

2.1 线性代数最基础的组成–向量

向量的三种不同视角：
物理：矢量，空间中的有向线段；决定向量是它的长度和它所指的方向。可以移动。
计算机专业：数组，有序的数字列表。
数学：向量加法和向量数乘， 内积。和点区分，向量竖着写。
向量坐标：基向量：i，j;
线性相关与线性无关基向量；

2.2 矩阵与线性变换

线性变换：运动的观点；线性变换是操纵空间变换的方式；
线性变换是最基础的空间变换：1. 经过变换之后还是直线 2. 原点位置不变。
矩阵时表达对 向量怎样变换的 工具。 将举证看做看见的变换。

2.2 矩阵乘法与线性复合

线性变换对空间的变换完全可由空间的基向量作用决定。因为该空间任意向量都能表示为基向量的线性组合。
线性变换空间后：网格线保持平行且等距分布。----》
矩阵：将变换后的i基向量 和 j 基向量作为一个矩阵的列。
矩阵向量乘积：将两列分别于x和y相乘后相加的结果；

复合变换：连续两次变换；

矩阵乘法：两个线性变换相继作用；不满足交换律；

2.3 行列式

计算行列式：告诉的是一个变换对面积的缩放比列。
det(M1M2)=det(M1)det(M2)
通过线性变换来理解 逆矩阵、列空间、秩和零空间的概念。
让计算机去做计算工作。
线性方程组：

恒等变换：A的逆；
如何矩阵的逆；
秩: 代表变换后空间的维数。 例如对于2X2的矩阵，它的秩最大为2 ，且意味着仍是二维空间，矩阵的行列式不为零。
满秩变换VS非满秩变换
非方阵的意义；

2.4 点积与对偶性、叉积

1投影的观点==坐标对应相乘
通过线性变换来理解。
维数相同的向量来做点积；
叉积：对应于向量组成的面积。

2.5 基变换的概念及其矩阵表示

不同基向量来表述的向量。即如何在不同坐标系之间来进行转化？–矩阵乘法
将矩阵看做空间的线性变换。

2.6 特征向量和特征值

矩阵变换在空间变换后，某方向上的向量仍然是这一个方向上的向量，只是伸缩而已。
该矩阵自己本身对应的向量称为:特征向量，每个特征向量都有一个自己的特征值。来衡量矩阵变换

将矩阵的列看做变换后的基向量。

该矩阵对应的特征向量和特征值。

求出特征值。将该值代入对角线矩阵当中，然后求解出在这个对角线变换的矩阵变换后成为零的向量。
特征基: 即对角矩阵中每一列都是特征基向量，而对角元是所属的特征值。
如何计算矩阵的100次幂的矩阵乘法：找到能张成全空间的特征向量，然后坐标系之间的转换。一定是一个对角矩阵。

2.7 抽象向量

函数看成向量；线性算子看成矩阵运算操作；
抽象性带来的好处：能够得到一般性的结论。分类会更具体，得到更多有用信息。
向量的形式可以有很多体现，抽象成向量空间来具有一般性，只是数学家的术语而提高权威性已；但是学习的时候，要具体化，要直观形象化。要首先从一个具体形象地例子出发学习，当学到更多知识之后，再去概念一般化。—>>普适的代价是抽象–晦涩难懂。 只有具备了正确的直观可视化理解，才会在以后的学习中加高效。

2.8 计算法则背后的几何原理

代数计算方法：高斯消元法
几何克莱姆法则；

来源：
3blue1Brown: https://space.bilibili.com/88461692/channel/detail?cid=13407