分治算法与汉诺塔问题

分治算法

1. 分治法是一种很重要的算法。字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法(快速排序，归并排序)，傅立叶变换(快速傅立叶变换)……
2. 分治算法可以求解的一些经典问题

   二分搜索
   大整数乘法
   棋盘覆盖
   合并排序
   快速排序
   线性时间选择
   最接近点对问题
   循环赛日程表
   汉诺塔

• 分治算法步骤
  分治法在每一层递归上都有三个步骤：

1. 分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题
2. 解决：若子问题规模较小而容易解决则直接解决，否则递归的解决各个子问题
3. 合并：将各个子问题的解合并为原问题的解

• 分治(Divide-and-Conquer§)算法设计模式如下

  if |P|≤n0
  then return(ADHOC§)
  //将P分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,…,Pk
  for i←1 to k
  do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) 递归解决Pi
  T ← MERGE(y1,y2,…,yk) 合并子问题
  return(T)

  其中|P|表示问题P的规模；n0为一阈值，表示当问题P的规模不超过n0时，问题已容易直接解出，不必再继续分解。ADHOC§是该分治法中的基本子算法，用于直接解小规模的问题P。因此，当P的规模不超过n0时直接用算法ADHOC§求解。算法MERGE(y1,y2,…,yk)是该分治法中的合并子算法，用于将P的子问题P1 ,P2 ,…,Pk的相应的解y1,y2,…,yk合并为P的解。

汉诺塔问题

• 汉诺塔的传说

  汉诺塔：汉诺塔（又称河内塔）问题是源于印度一个古老传说的益智玩具。大梵天创造世界的时候做了三根金刚石柱子，在一根柱子上从下往上按照大小顺序摞着64片黄金圆盘。大梵天命令婆罗门把圆盘从下面开始按大小顺序重新摆放在另一根柱子上。并且规定，在小圆盘上不能放大圆盘，在三根柱子之间一次只能移动一个圆盘。

  假如每秒钟一次，共需多长时间呢？移完这些金片需要5845.54亿年以上，太阳系的预期寿命据说也就是数百亿年。真的过了5845.54亿年，地球上的一切生命，连同梵塔、庙宇等，都早已经灰飞烟灭。

上面汉诺塔传说说的实际就是这个问题，如图：

要求：
1. 把A塔的圆盘全部搬到B塔或者C塔
2.三根柱子之间一次只能移动一个圆盘
2. 小圆盘上不能放大圆盘

我们来看看汉诺塔问题的解决思路：

按照分治算法的思想，我们把复杂问题拆分成若干个容易解决的小问题。

1. 我们可以假设A塔上只有一个圆盘，则直接把A塔圆盘移动到C：A-C

2. 假设A塔圆盘的数量n>=2的情况，我们总是可以看做2个圆盘，即最下面的一个盘，和上面剩余的盘，看成一个盘

   1. 先把最上面的盘 A->B
   2. 在把最下面的盘A->C
   3. 最后把B塔的所有盘从B->C

   从上面的可以看出，不管有多少盘，只要他的数量大于 1，我们都可以分成上面3部。

代码实现：
汉诺塔的代码很简单，关键是要理解他的思想

public class Hanoitower {

    public static void main(String[] args) {
        hanoitower(5, 'A', 'B', 'C');
    }

    /**
     * @param num 盘的数量
     * @param a a柱
     * @param b b柱
     * @param c c柱
     */
    public static void hanoitower(int num, char a, char b, char c) {
        // 如果只有一个盘，直接从A移动到C柱
        if (num == 1) {
            System.out.println("第一个盘从" + a + "->" + c);
            return;
        }
        if (num >= 2) {
            // 如果大于或者等于2个盘，我们看把盘看成最下面的一个盘，和上面的盘
            // 1. 先移动上面的盘到B即,A->B
            hanoitower(num - 1, a, c, b);
            // 2. 在把最下面的一个盘从A移动到C
            System.out.println("第" + num + "个盘从" + a + "->" +  c);
            // 3. 最后把B中的盘移动到C
            hanoitower(num - 1, b, a, c);
        }
    }
}