线性同余法[纯理论]

现在的随机函数发生器大都采用的是线性同余法。

 

同余的概念是这样描述的：

设m是一个给定的正整数，如果两个整数a，b用m除，所得的余数相同，则称a，b对模m同余。

所谓线性同余法（又叫混合同余法），就是这样的一个公式：X[i+1]=(A*X[i]+C) mod M；

经前人研究表明，在M=2^q的条件下，参数A，C，X[0]按如下选取，周期较大，概率统计特性好:

A=2^b+1=2^(log2(M)/2)+1=2^log2(sqrt(M))+1=sqrt(M)+1；b取q/2 附近的数

C=(1/2+sqrt(3))*M

X[0]为任意非负数

M ， 模数         0 < M
A， 乘数         0 <= AC， 增量         0 <=CXi，开始值        0<=Xi

它的一个致命的弱点，那就是随机数的生成在某一周期内成线性增长的趋势，显然，在大多数场合，这种极富“规律”型的随机数是不应当使用的。

 

同余序列总是进入一个循环，这是一个事实，它最终必定在N个数之间无休止的重复循环。
使用该方法产生的伪随机数能不能近似真正的随机效果，跟四个整数的设置相关：
1.         序列的开始值，一般取正整数。
2.         m：一个同余序列的周期不可能多于m个元素，所以，为了达到预期的随机效果，一般我们希望这个值稍稍大一点。在大多数情况下，当m = 2e（e表示计算机的字大小）时，在计算机中得到的随机效果就比较令人满意了。而且这样对于随机数生成速度也是比较合理的。
3.         a：当a=1的时候，Xn=（X0+nc）mod m ，它不具有随机序列的特性；而当a=0的时候甚至更糟糕。因此，为实用起见，选择2 <= a4.         c：当c=0时，数的生成过程比c！=0的时候要稍微快些，它的限制缩短了这个序列的周期长度，但是也仍然有可能得到一个相当长的周期。当c=0时被称为乘同余法，c！=0称为混合同余法。为了一般性，我建议选择采用混合同余法。
由m，a，c和X0所定义的线形同余序列得到最大的周期长度m的条件如下：
当且仅当

（1）c与m互素。
（2）对于整除m的每个素数p，2^b=a-1是p的倍数。
（3）如果m是4的倍数，则b也是4的倍数。
就像开始提到的，伪随机数的产生都是由一个起始种子数开始的，上面描述的就是由一个种子数下能够产生的随机数的序列。这个序列的周期性是必然的，当这个周期能够满足预期的效果的时候，就是我们看到的满意的随机效果。
在确定初始种子数的时候，可以有多种形式，例如将某时刻的时钟数据做种子，通过时间的不停变化，进行随机数的求取来达到随机效果。这些都是方法问题了，不在算法讨论范畴。