前缀和(一维前缀和与二维前缀和)

前缀和是一种重要的预处理，能大大降低查询的时间复杂度。

【一维前缀和】

给定一个数组A[1,2,……n]，则它的前缀和数组为PrefixSum[1..n]。定义为：PrefixSum[i] = A[0]+A[1]+...+A[i-1]；

【例子】

A[5,6,7,8] --> PrefixSum[5,11,18,26]

PrefixSum[0] =A[0] ;

PrefixSum[1] =A[0] + A[1] ;

PrefixSum[2] =A[0] + A[1] + A[2] ;

PrefixSum[3] =A[0] + A[1] + A[2] + A[3] ;

【用法】

1. 可以通过前缀和求出任意区间的求和值，比如我们想求出[5,10]区间内的求和值，即s[10]-s[4]=[5,10]

【二维前缀和】

从上图中可以看出，前缀和数组里每一个位置都表示原数组当前index左上方的数字的和。
比如像图里面画的：prefixSum[3, 3] = src[0~2, 0~2]的和;
二维前缀和数组要怎么计算出来呢？
可以分为四种情况

1. i==0 && j==0，只有一个直接赋值即可：prefixSum[0, 0] = src[0, 0]。
2. i==0，最左边的一排，图中黄色部分，prefixSum[0, j] = prefixSum[0, j-1] + src[0, j]；
3. j==0，最上面一排，途中红色部分，prefixSum[i, o] = prefixSum[i-1, 0] + src[i, 0];
4. i!=0 || j!=0，图中绿色部分，prefixSum[i][j] = prefixSum[i - 1][j] + prefixSum[i][j - 1] + src[i][j] - prefixSum[i - 1][j - 1];

我们要得到prefixSum[2,2]，我们知道应该是图一中箭头指向的区域。也就是9个方框加起来的和，也就是54。
看图二，我们可以利用prefixSum[1, 2]和prefixSum[2, 1]，但是他俩的区域是重合的，如图二所示，重合的区域又恰好是prefixSum[1, 1]负责的区域，相当于加了两份，需要减掉一份。
所以prefixSum[2,2] = prefixSum[1, 2] + prefixSum[2, 1] - prefixSum[1, 1] + src[2, 2];
也就是54 = 33 + 21 -12(这个是prefixSum[1, 1]) +12(这是src[2, 2])

        for (int i = 0; i < src.length; i++) {
            for (int j = 0; j < src[0].length; j++) {
                if (i == 0 && j == 0) {//第0个，最左上角
                    result[i][j] = src[i][j]
                } else if (i == 0) {//第一行，最顶部一行
                    result[i][j] = result[i][j - 1] + src[i][j]
                } else if (j == 0) {//第一列，最左边一列
                    result[i][j] = result[i - 1][j] + src[i][j]
                } else {//其他
                    result[i][j] = result[i - 1][j] + result[i][j - 1] + src[i][j] - result[i - 1][j - 1]
                }
            }
        }
        return result;