【洛谷 1045 & 蓝桥杯 算法训练 ALGO-26】麦森数（二分 + 高精度）

1 题目

问题描述

形如 $2^P-1$ 的素数称为麦森数，这时 $P$ 一定也是个素数。但反过来不一定，即如果 $P$ 是个素数， $2^P-1$ 不一定也是素数。到1998年底，人们已找到了37个麦森数。最大的一个是 $P=3021377$ ，它有 $909526$位。麦森数有许多重要应用，它与完全数密切相关。
任务：从文件中输入 $P（1000<P<3100000）$，计算 $2^P-1$ 的位数和最后 $500$ 位数字（用十进制高精度数表示）

输入格式

文件中只包含一个整数 $P$（1000

输出格式

第一行：十进制高精度数 $2^P-1$ 的位数。
第2-11行：十进制高精度数 $2^P-1$ 的最后500位数字.（每行输出50位，共输出10行，不足500位时高位补0）
不必验证 $2^P-1$ 与 $P$ 是否为素数。

样例输入

1279

样例输出

386
00000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000104079321946643990819252403273640855
38615262247266704805319112350403608059673360298012
23944173232418484242161395428100779138356624832346
49081399066056773207629241295093892203457731833496
61583550472959420547689811211693677147548478866962
50138443826029173234888531116082853841658502825560
46662248318909188018470682222031405210266984354887
32958028878050869736186900714720710555703168729087

2 题目分析

1.题目难点：

• 求 $2^P-1$ 的位数
• 高精度算法
• 二分快速幂实现

2.求 $2^P-1$ 的位数

• 首先要知道的是 $2^P-1$ 与 $2^P$ 有相同的位数，因此接下来我们直接求 $2^P$ 的位数
• 不妨设 $k=2^p$
• 我们知道， $10^n$ 的位数为 $n+1$，而根据对数运算规则，$10^{\lg 2}=2$
• 因此将 $10^{\lg 2}=2$ 代入 $k=2^p$ 得 $k=10^{\lg 2\ast p}$ ，所以 $2^P$ 的位数为 $p\ast \lg 2+1$
• 另外，C++ 的 cmath 库中自带 log10() 函数。也有直接计算位数的函数：ceil(n次方*log10(底数))

3.高精度算法

• 在 C/C++ 中，$int$ 类型有10位，取值范围为：$-2147483648\sim 2147483647$；$longlong$ 类型有19位，取值范围为：$-9223372036854775808\sim 9223372036854775807$

• 如果有两个30位的数字相乘，应该如何用计算机实现？

• 这就是高精度乘法的应用，以高精度加法举例，就是用数组存储数字每一位的数字，逐个运算，具体的算法可参考博客：高精度加、减、乘、除算法实现详解

• 在本题中，就是运用高精度乘法的原理实现二分快速幂过程。

4.二分快速幂实现

• 快速幂原理：https://blog.csdn.net/liangllhahaha/article/details/82119378
• 在本题中，用两个函数实现快速幂中 ans *= base 与 base *= base 的功能，其中 $p$ 则为幂方 $b$ ，数组 b[maxn] 为基数 base

3 题解

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
//乘法开2倍长度
const int maxn = 1001;
int ans[maxn], b[maxn], carry[maxn], p;

void fun1(){
	memset(carry, 0, sizeof(carry));
	for(int i = 1;i <= 500;i++){
		for(int j = 1;j <= 500;j++){
			carry[i + j - 1] += ans[i] * b[j];
		}
	}
	for(int i = 1;i <= 500;i++){
		carry[i + 1] += carry[i] / 10;
		carry[i] = carry[i] % 10;
	}
	memcpy(ans, carry, sizeof(ans));
}

void fun2(){
	memset(carry, 0, sizeof(carry));
	for(int i = 1;i <= 500;i++){
		for(int j = 1;j <= 500;j++){
			carry[i + j - 1] += b[i] * b[j];
		}
	}
	for(int i = 1;i <= 500;i++){
		carry[i + 1] += carry[i] / 10;
		carry[i] = carry[i] % 10;
	}
	memcpy(b, carry, sizeof(b));
}

int main(){
	int p;
	cin >> p;
	printf("%d\n", (int)( p * log10(2) ) + 1);
	//赋初值 
	ans[1] = 1, b[1] = 2;
	while(p){
		if(p % 2){
			fun1();
		}
		fun2();
		p /= 2;
	}
	//题目要计算的是2 ^ {P} - 1
	ans[1] -= 1;
	for(int i = 500;i > 0;i--){
		if(i != 500 && i % 50 == 0){
			printf("\n%d", ans[i]);
		}else{
			printf("%d", ans[i]);
		}
	}
	return 0;
}