【洛谷 1072 & 蓝桥杯 算法训练 ALGO - 37】Hankson的趣味题

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1 题目

题目描述

Hanks 博士是BT (Bio-Tech，生物技术) 领域的知名专家，他的儿子名叫Hankson。现在，刚刚放学回家的Hankson 正在思考一个有趣的问题。 今天在课堂上，老师讲解了如何求两个正整数c1 和c2 的最大公约数和最小公倍数。现 在Hankson 认为自己已经熟练地掌握了这些知识，他开始思考一个“求公约数”和“求公 倍数”之类问题的“逆问题”，这个问题是这样的：已知正整数a0,a1,b0,b1，设某未知正整 数x 满足： 1． x 和a0 的最大公约数是a1； 2． x 和b0 的最小公倍数是b1。 Hankson 的“逆问题”就是求出满足条件的正整数x。但稍加思索之后，他发现这样的 x 并不唯一，甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的x 的个数。请你帮助他编程求解这个问题。

输入格式

输入第一行为一个正整数n，表示有n 组输入数据。
接下来的n 行每 行一组输入数据，为四个正整数a0，a1，b0，b1，每两个整数之间用一个空格隔开。输入 数据保证a0 能被a1 整除，b1 能被b0 整除。

输出格式

输出共n 行。每组输入数据的输出结果占一行，为一个整数。
对于每组数据：若不存在这样的 x，请输出0； 若存在这样的 x，请输出满足条件的x 的个数；

样例输入

2
41 1 96 288
95 1 37 1776

样例输出

6
2

样例说明

第一组输入数据，x 可以是9、18、36、72、144、288，共有6 个。
第二组输入数据，x 可以是48、1776，共有2 个。

2 分析

首先，直接暴力枚举只能过 $50\%$ 的数据。

1.关于两个定理：

• 最大公约数

int gcd(int a, int b){   
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);     
}

• 最小公倍数

int lcm(int a, int b){
	return a * b / gcd(a, b);
}

2.一个结论：设 $gcd(x,a_0)=a_1$ ，并有
$$\{\begin{array}{rl}x=k_1\ast a_1& \\ a_0=k_2\ast a_1& \end{array}$$
则 $gcd(k_1,k_2)=1$。

证明：

• 假设 $gcd(k_1,k_2)\ne 1$，$gcd(k_1,k_2)=K$，并有
  $$\{\begin{array}{rl}{k}_1=p\ast K& \\ k_2=q\ast K& \end{array}$$
• 由假设得：
  $$\{\begin{array}{rl}x=p\ast K\ast a_1& \\ a_0=q\ast K\ast a_1& \end{array}$$
• 可得 $gcd(x,a_0)=K\ast a_1\ne a_1$，结果与题目条件不符，假设不成立
• 则 $gcd(k_1,k_2)=1$

因此可得：

对于两个正整数 $a,b$ ，设 $gcd(a,b)=k$ 则存在 $gcd(a/k,b/k)=1$

3.推导

• 由最大公约数定理
  $$gcd(x,a_0)=a_1$$
  得
  $$gcd(\frac{x}{a_1},\frac{a_0}{a_1})=1$$
• 由最小公倍数定理
  $$lcm(x,b_0)=b_1=\frac{x\ast b_0}{gcd(x,b_0)}$$
  则
  $$gcd(x,b_0)=\frac{x\ast b_0}{b_1}$$
  得
  $$gcd(\frac{b_1}{b_0},\frac{b_1}{x})=1$$

4.最终可得如下结论：
$$\{\begin{array}{rl}gcd(\frac{x}{a_1},\frac{a_0}{a_1})=1& \\ gcd(\frac{b_1}{b_0},\frac{b_1}{x})=1& \end{array}$$

3 题解

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

int gcd(int a, int b){
	return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}

int main(){
	int n;
	cin >> n;
	while(n--){
		int a0, a1, b0, b1, ans = 0;
		cin >> a0 >> a1 >> b0 >> b1;
		for(int x = 1;x <= sqrt(b1);x++){
			if(b1 % x == 0){
				if(x % a1 == 0 && gcd(x / a1, a0 / a1) == 1 && gcd(b1 / x, b1 / b0) == 1){
					ans++;
				}
				//枚举另一个因子 
				int y = b1 / x;
				if(y == x){
					continue;
				}
				if(y % a1 == 0 && gcd(y / a1, a0 / a1) == 1 && gcd(b1 / y, b1 / b0) == 1){
					ans++;
				}
			}
		}
		if(ans != 0){
			printf("%d\n", ans);
		}else{
			printf("0\n");
		}
	}
	return 0;
}