扩展欧几里德算法求解线性同余方程

 欧几里德算法

　　欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：
　　定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
　　证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b
　　假设d是a,b的一个公约数，则有
　　d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r
　　因此d是(b,a mod b)的公约数
　　假设d是(b,a mod b)的公约数，则
　　d | b , d |r，但是a = kb +r
　　因此d也是(a,b)的公约数
　　因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证
　　欧几里德算法就是根据这个原理来做的，其算法用C++语言描述为：
　　
       

int GCD(int a,int b)
       {
              while (b!=0) { int k=b; b=a%b; a=k; }
             return a;
       }

（我做一下补充：C++里面有一个库函数可以直接求最大公约数，即__gcd(int, int)，前面是两个连续的下划线，这样就不必要每次都自己写了。。。）

       扩展欧几里德算法


　　扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组p，q使得p * a+q * b = Gcd(a, b) (解一定存在，根据数论中的相关定理)。
     算法描述为：
       

int extended_gcd(int a,int b,int &x,int &y)
       {
            int ans,t;
            if (b==0) { x=1; y=0; return a; }
            else { ans=extended_gcd(b,a%b,x,y); t=x; x=y; y=t-(a/b)*y;}
            return ans;
       }

　　把这个实现和Gcd的递归实现相比，发现多了下面的x,y赋值过程，这就是扩展欧几里德算法的精髓。


　　可以这样思考:
　　对于a' = b, b' = a % b而言，我们求得x, y使得a'x + b'y = Gcd(a', b')
　　由于b' = a % b = a - a / b * b (注：这里的/是程序设计语言中的除法)
　　那么可以得到:
　　a'x + b'y = Gcd(a', b') ===>
　　bx + (a - a / b * b)y = Gcd(a', b') = Gcd(a, b) ===>
　　ay +b(x - a / b*y) = Gcd(a, b)
　　因此对于a和b而言，他们的相对应的p，q分别是y和(x-a/b*y)。
    线性同余方程
        
     对于方程 a*x+b*y=n；有整数解得充分必要条件是（n %（a，b）==0），这个定理这里就不证明了，数论书上都有。
     所以方程 a*x+b*y=n；我们可以先用扩展欧几里德算法求出一组x0，y0。也就是a*x0+b*y0=（a，b）；然后两边同时除以（a，b），再乘以n。这样就得到了方程a*x0*n/（a，b）+b*y0*n/（a，b）=n；我们也就找到了方程的一个解。
     还有一个定理：若（a，b）=1，且x0，y0为a*x+b*y=n的一组解，则该方程的任一解可表示为：x=x0+b*t，y=y0-a*t；且对任一整数t，皆成立。（这个证明比较简单，就不写了）
     这样我们就可以求出方程的所有解了，但实际问题中，我们往往被要求去求最小整数解，所以我们就可以将一个特解x，t=b/（a，b），x=(x%t+t）%t；就可以了。
    方程组的情形（中国剩余定理）
     对于同余方程组：
      x=a1 （mod m1）；   1
      x=a2 （mod m2）；    2
      方程组有一个小于m（m1，m2的最小公倍数）的非负整数解的充分必要条件是（a1-a2）%（m1，m2）==0 ，同样利用扩展欧几里德算法。
      两式联立：a1+m1*y=a2+m2*z。
      则：a1-a2=m2*z-m1*y; 这样就可以了解出z和y，则：x=a2+m2*z；  
      现在我们将其推广到一般情形：（设m1,m2,···,mk两两互素）
      x=a1（mod m1）;
     x=a2（mod m2）;
      ···
      x=ak（mod mk）;其在M=m1*m2*···*mk;中有唯一整数解。
      记Mi=M/mi;因为（Mi,mi）=1,故有两整数pi,qi满足Mi*pi+mi*qi=1，如果记ei=Mi*pi;那么：ei=0 （mod mj）,j!=i; ei=1（mod mj）,j=i;
      很明显，e1*a1+e2*a2+···+ek*ak就是方程的一个解，加减M倍后就可以得到最小非负整数解了。
      如果m1,m2,···,mk不互素，那只能两个两个求了。
      x=a1 （mod m1）；  
      x=a2 （mod m2）；   
      解完后，a=x； m=m1和m2的最小公倍数。即可。
      暂时就写到这里，多元的高次的我还没看，这里推荐几道题目：pku2115；pku2891；pku1061；pku1006；pku2142；强烈推荐sgu106；题目的结题报告我也会贴在博客里。