在二维正态分布中,参数 ρ \rho ρ被定义为随机变量 X , Y X,Y X,Y的相关系数,即 ρ = r ( x , y ) \rho=r(x,y) ρ=r(x,y)。由
r ( x , y ) = C o v ( x , y ) V a r [ x ] V a r [ y ] C o v ( x , y ) = E [ X Y ] − E [ X ] E [ Y ] r(x,y)=\frac{Cov(x,y)}{\sqrt{Var[x]Var[y]}} \\ Cov(x,y)=E[XY]-E[X]E[Y] r(x,y)=Var[x]Var[y]Cov(x,y)Cov(x,y)=E[XY]−E[X]E[Y]
即可证明。由于 E [ X Y ] E[XY] E[XY]的求解较为繁琐,本文记录此过程。
假设随机变量 ( X , Y ) ∼ N ( μ 1 , μ 2 , σ 1 2 , σ 2 2 , ρ ) (X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho) (X,Y)∼N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ),求 E [ X Y ] E[XY] E[XY]。
解:
E [ X Y ] = ∫ − ∞ ∞ d x ∫ − ∞ ∞ x y 2 π σ 1 σ 2 1 − ρ 2 exp { − 1 2 ( 1 − ρ 2 ) ( ( x − μ 1 ) 2 σ 1 2 − 2 ρ ( x − μ 1 ) ( y − μ 2 ) σ 1 σ 2 + ( y − μ 2 ) 2 σ 2 2 ) } d y = 1 2 π σ 1 σ 2 1 − ρ 2 ∫ − ∞ ∞ x exp { − 1 2 ( 1 − ρ 2 ) ( ( x − μ 1 2 ) σ 1 2 ) } d x ∫ − ∞ ∞ y exp { − 1 2 ( 1 − ρ 2 ) ( − 2 ρ ( x − μ 1 ) ( y − μ 2 ) σ 1 σ 2 + ( y − μ 2 ) 2 σ 2 2 ) } d y \begin{aligned} E[XY]&=\int_{-\infty}^\infty { \text dx\int_{-\infty}^\infty { \frac{xy} { 2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2} } \exp \left\{ -\frac{1}{2(1-\rho^2)} \left( \frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-2\rho\frac{(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}+\frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2} \right) \right\} \text dy } } \\ &=\frac{1} { 2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2} } \int_{-\infty}^\infty { x \exp \left\{ -\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left(\frac{(x-\mu_1^2)}{\sigma_1^2}\right) \right\} \text dx\int_{-\infty}^\infty { y \exp \left\{ -\frac{1}{2(1-\rho^2)} \left( -2\rho\frac {(x-\mu_1)(y-\mu_2)} {\sigma_1\sigma_2}+\frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2} \right) \right\} \text dy } } \end{aligned} E[XY]=∫−∞∞dx∫−∞∞2πσ1σ21−ρ2xyexp{−2(1−ρ2)1(σ12(x−μ1)2−2ρσ1σ2(x−μ1)(y−μ2)+σ22(y−μ2)2)}dy=2πσ1σ21−ρ21∫−∞∞xexp{−2(1−ρ2)1(σ12(x−μ12))}dx∫−∞∞yexp{−2(1−ρ2)1(−2ρσ1σ2(x−μ1)(y−μ2)+σ22(y−μ2)2)}dy
作代换 x → σ 1 x + μ 1 , y → σ 2 y + μ 2 x\rightarrow\sigma_1x+\mu_1,y\rightarrow\sigma_2y+\mu_2 x→σ1x+μ1,y→σ2y+μ2,则
E [ X Y ] = 1 2 π 1 − ρ 2 ∫ − ∞ ∞ ( σ 1 x + μ 1 ) exp { − 1 2 ( 1 − ρ 2 ) x 2 } d x ∫ − ∞ ∞ ( σ 2 y + μ 2 ) exp { − 1 2 ( 1 − ρ 2 ) ( − 2 ρ x y + y 2 ) } d y \begin{aligned} E[XY]&=\frac{1} { 2\pi\sqrt{1-\rho^2} } \int_{-\infty}^\infty { (\sigma_1x+\mu_1) \exp \left\{ -\frac{1}{2(1-\rho^2)}x^2 \right\} \text dx\int_{-\infty}^\infty { (\sigma_2y+\mu_2) \exp \left\{ -\frac{1}{2(1-\rho^2)} \left( -2\rho xy+y^2 \right) \right\} \text dy } } \end{aligned} E[XY]=2π1−ρ21∫−∞∞(σ1x+μ1)exp{−2(1−ρ2)1x2}dx∫−∞∞(σ2y+μ2)exp{−2(1−ρ2)1(−2ρxy+y2)}dy
由于
∫ − ∞ ∞ exp ( − x 2 + 2 k x l 2 ) d x = ∫ − ∞ ∞ exp [ − ( x − k ) 2 + k 2 l 2 ] d x = exp k 2 l 2 ∫ − ∞ ∞ exp ( − u 2 l 2 ) d u = l exp k 2 l 2 ∫ − ∞ ∞ exp ( − v 2 ) d v = l exp k 2 l 2 π ∫ − ∞ ∞ x exp ( − x 2 + 2 k x l 2 ) d x = ∫ − ∞ ∞ x exp [ − ( x − k ) 2 + k 2 l 2 ] d x = exp k 2 l 2 ∫ − ∞ ∞ ( u + k ) exp ( − u 2 l 2 ) d u = exp k 2 l 2 l ∫ − ∞ ∞ ( v l + k ) exp ( − v 2 ) d v = k l exp k 2 l 2 π \begin{aligned} \int_{-\infty}^\infty { \exp \left( \frac{-x^2+2kx}{l^2} \right) \text dx } &= \int_{-\infty}^\infty { \exp \left[ \frac{-(x-k)^2+k^2}{l^2} \right] \text dx } \\ &= \exp\frac{k^2}{l^2} \int_{-\infty}^\infty { \exp \left( -\frac{u^2}{l^2} \right) \text du } \\ &= l\exp\frac{k^2}{l^2} \int_{-\infty}^\infty { \exp \left( -v^2 \right) \text dv } \\ &= l\exp\frac{k^2}{l^2}\sqrt{\pi} \\ \int_{-\infty}^\infty { x\exp \left( \frac{-x^2+2kx}{l^2} \right) \text dx } &= \int_{-\infty}^\infty { x\exp \left[ \frac{-(x-k)^2+k^2}{l^2} \right]\text dx } \\ &= \exp\frac{k^2}{l^2} \int_{-\infty}^\infty { (u+k)\exp(-\frac{u^2}{l^2})\text du } \\ &= \exp\frac{k^2}{l^2}l \int_{-\infty}^\infty { (vl+k)\exp(-v^2)\text dv } \\ &= kl\exp\frac{k^2}{l^2}\sqrt{\pi} \end{aligned} ∫−∞∞exp(l2−x2+2kx)dx∫−∞∞xexp(l2−x2+2kx)dx=∫−∞∞exp[l2−(x−k)2+k2]dx=expl2k2∫−∞∞exp(−l2u2)du=lexpl2k2∫−∞∞exp(−v2)dv=lexpl2k2π=∫−∞∞xexp[l2−(x−k)2+k2]dx=expl2k2∫−∞∞(u+k)exp(−l2u2)du=expl2k2l∫−∞∞(vl+k)exp(−v2)dv=klexpl2k2π
因此
E [ X Y ] = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ( σ 1 x + μ 1 ) ( σ 2 ρ x + μ 2 ) exp { − x 2 2 } d x = μ 1 μ 2 + ρ σ 1 σ 2 \begin{aligned} E[XY]&=\frac{1} { \sqrt{2\pi} } \int_{-\infty}^\infty { (\sigma_1x+\mu_1)(\sigma_2\rho x+\mu_2) \exp \left\{ -\frac{x^2}{2} \right\} \text dx } \\ &= \mu_1\mu_2+\rho\sigma_1\sigma_2 \end{aligned} E[XY]=2π1∫−∞∞(σ1x+μ1)(σ2ρx+μ2)exp{−2x2}dx=μ1μ2+ρσ1σ2