数论题目入门 基础积攒

基本性质

1. 若p|(a-b)，则a≡b (% p)。例如 11 ≡ 4 (% 7)， 18 ≡ 4(% 7)
2. (a % p)=(b % p)意味a≡b (% p)
3. 对称性：a≡b (% p)等价于b≡a (% p)
4. 传递性：若a≡b (% p)且b≡c (% p) ，则a≡c (% p)

运算规则

模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下：

1. (a + b) % p = (a % p + b % p) % p （1）
2. (a - b) % p = (a % p - b % p) % p （2）
3. (a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3）
4. a ^ b % p = ((a % p)^b) % p （4）

• 结合律：
  ((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p （5）

    ((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p （6）

• 交换律：
  (a + b) % p = (b+a) % p （7）

    (a * b) % p = (b * a) % p （8）

• 分配律：
  (a+b) % p = ( a % p + b % p ) % p （9）
  ((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p （10）

重要定理

• 若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a + c) ≡ (b + c) (%p)；（11）
• 若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a * c) ≡ (b * c) (%p)；（12）
• 若a≡b (% p)，c≡d (% p)，则 (a + c) ≡ (b + d) (%p)，(a - c) ≡ (b - d) (%p)，
  (a * c) ≡ (b * d) (%p)，(a / c) ≡ (b / d) (%p)； （13）

费马小定理：

1）先了解一下'≡'的含义：

同余符号

两个整数a，b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余
记作a≡b(mod m)
读作a同余于b模m，或读作a与b关于模m同余。
比如26≡14(mod 12)。

快速幂题目：

求1-m/n*n即(n*n-m)/n*n，mod N的值。N=99999999。

提示：x^(p-1)≡1%p，则x^(-1)≡x^(p-2)%p，x^(-1)与x^(p-2)同余

#include  
#include  
#define ll long long  
using namespace std;  
const int mod=99999999;  
  
ll fast(ll a,ll b){  
    ll res=1;  
    while(b){  
        if(b&1)res=a*res%mod;  //if(b%2==1)
        b>>=1;  //b/=2;
        a=a*a%mod;  
    }  
    return res;  
}  
  
int main(){  
    ll n,m;  
    scanf("%lld%lld",&n,&m);  
    ll ans=n*n-m;  
    ans=(ans*fast(n*n,mod-2))%mod;  
    printf("%lld\n",ans);  
}  

快速幂思想：求a的b次方

  求指数位置上的二进制位，当 当前二进制位为1，则把需要乘的a的2^k次方乘到变量ans上；

a*=a；//不停的求下一位二进制位的权重  a^1...^2...^4....^8...

模版：

while(b){
    if(b&1) ans=a*ans%mod;
    b>>=1;
    a=a*a%mod;
}