关于AC自动机的思考

关于 AC自动机的思考

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之前看到HDOJ上那道病毒侵入题，了解到了AC自动机，查了很多资料，于是记录一下对AC自动机的一些理解。

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前提

AC自动机是基于KMP算法和字典树扩展过来的，通过减少冗余匹配来减少算法复杂度。

• KMP算法通过加大比对指针跳跃距离，越过理论上已知无需进行判断的位置，从而加快比对速度。
• 字典树通过利用各个单词的公共前缀减少比对次数

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基本思路

考虑一个例子：
    单词：he / she / his / hers
    文本：ushers

对应的字典树如图所示
（来源：深入理解Aho-Corasick自动机算法）

• 对比原朴素字典树查找方法：
  
  • 先查找u，发现字典树根节点并没有此字母，退出。
  • 再查找s，发现根节点上有s字母，继续。
  • 查找h，发现s节点下也有h，于是继续。
  • 再查找e，发现h节点下有e，并且e节点上标记了一个“she”单词，于是记录。
  • 再查找r，发现e下不再有r了，于是退出。
  • 再对文本的h开始重复以上几步查找，直至结束。

对朴素查找的分析

• 朴素查找每次在文本中查找单词时，都会选取以当前字母开始到末尾的一个子字符串，然后对该子字符串进行查找，完毕后“当前字母”向前移动一个距离并继续下一次子字符串的判断。
• 注意到一个问题：对于单词 “she” 和 “he” 而言，已知的一个事实是，如果查找到文本内有一段“she”的文本，那么首先会知道文本中存在一个单词“she”，但同时，在查找”s”->”h”->”e”树枝时理应知道单词“he”也出现了。所以，只需要在这时直接将这个已知信息记录即可，之后就没必要再在查找以“h”开头的文本子字符串时再查找“he”这个单词了。AC自动机某种意义上减少了这部分冗余的查找，并且顺利地跳转到了查找下一个字母时应该搜索的树枝（这里仅为个人认知，并不一定正确），有一种利用了公共后缀的意味。
• 相当于在查找下一个子字符串时直接从非公共部分开始查找，而不是直接移动到下一个字符。

对AC自动机的分析

• AC自动机对字典树的每一个节点添加了一个失配指针。
• 按照其他博客上的描述：构造失配指针的规则为：
  
  • 对于每一个节点A，寻找其父节点B的失配指针指向的节点C，再将A的失配指针指向C直接子节点中与A字母相同的节点。
  • 用另外一位博主的话说，就是指向到达该节点所表示的字符串的最长后缀子字符串的末节点。
• 这样的话在搜索时，比如文本“she”，在查找到单词“she”后，这个树枝理应到达结尾然后退出，
  
  • 但通过失配指针，这个单词“she”树枝“e”节点的失配指针会指向“he”树枝的“e”，这样就能跳到“he”树枝，并发现“he”这个单词出现在文本中。
  • 然后处理文本下一个字母（这里为“r”）时，就会在”h”->”e”->”r”->”s”这个树枝上查找，就相当于结束了对“s”开头的文本子字符串的查找。

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结语

仅为个人感悟，并不保证完全正确。