约数个数定理和约数和定理

约数个数定理

对于如何快速求一个数内有多少个数是他的约数，有一种公式

假设对于 X 他的素数约数为 p1,p2,p3...pn

X = （p1^a1） * （p2^a2）*.......(pn^an)

因为 p1,p2,p3...pn都是素数因数，我们可以认为他们是组成 X 最下的一个因子部分，那么我们通过多次选择这些素数相乘不就可以得出全部的约数了吗。

那么根据排列组合思想 p1 选 t1 次，p2选 t2 次，p3 选 t3 次。。。。以此类推（如果不选就是选0次）由于是一步一步的选的，所以如果想统计全部约数个数，那么这些步骤要相乘。

t = t1 * t2 * t3 * t4*...tn 那么t1 t2 t3 这些东西又怎么得到呢。。。

我们惊讶的发现 a1 a2 这些数字，举个例子 a1 代表了 p1 最多被选 a1 次 如果超出 a1 那么很明显结果就不是 X 了，那么我们发现算上不选那个结果， p1 可以由 a1 + 1 种选择方案， t1 = ( a1 + 1 )

那么约数个数公式就有了

根据 X = （p1^a1） * （p2^a2）*.......(pn^an) 

T = ( a1 + 1 ) * ( a2 + 1 ) * ( a3 + 1 ).... * ( an + 1 ) （ a1,a2,a3...an 位 p1,p2,p3....pn的系数）   

代码实现

ll getnum(ll n) 
{
    ll res=1;
    if(n==1) 
      return 1;
    for(ll i=2;i*i<=n;i++)
    {
        ll k=0;
        while(n%i == 0)
        {
            n = n/i;
            k++;
        }
        if(k) 
            res *= (k+1);
    }
    if(n != 1) res=res*2;
    if(res==1)
    {
        return 2;
    }
    return res;
}

约数和定理

先直接上公式

f(n)=(p1^0+p1^1+p1^2+…p1^a1)(p2^0+p2^1+p2^2+…p2^a2)…(pk^0+pk^1+pk^2+…pk^ak）。

用二项式定理思路去看这个公式 p1^x1 * p2^x2 * p3^x3...pn^xn

代表了每个可能的约数相加。。有了上边的基础这个公式就很好想了。。。

当然实现的时候如果暴力求解很显然有点麻烦。。我们优化一下

对于 p1^0,p1^2....p1^a1 这就是个等比数列求和啊 直接套用公式。。。。

ll qpow(ll x, ll y)//先手搓一个快速幂
{
    ll res = 1;
    while(y)
    {
        if(y&1) 
            res *= x;
        x *= x;
        y >>= 1 ;
    }
    return res;
}
 
ll getsum(ll n)//约数和.
{
    ll res=1;
    for(ll i=2;i*i<=n;i++)
    {
        ll k=0;
        while(n%i == 0)
        {
            n = n/i;
            k++;
        }
        res *= ((1-qpow(i,k+1))/(1-i));
    }   
    if(n != 1) res *= (1 + n);
    return res;
}