汉诺塔问题详解--递归实现

思考：
有三根柱子（A，B，C）。A柱子上面套着n个圆盘。这些圆盘大小各异，按从小到大的顺序自上而下摆放。

现在要把套在A柱上的n个圆盘全部移动到B柱上。并且移动圆盘时必须遵守下述规则：

• 一次只能移动柱子最上端的一个圆盘。
• 小圆盘上不能放大圆盘。
  将一个圆盘从一根柱子移到另一根柱子，算是移动1次，那么，将n个圆盘全部从A移动到B至少需要移动几次呢？

首先：我们应该先从小汉诺塔入手。
一开始就考虑n个圆盘的话头脑会混乱，所以我们先缩小问题的规模，从3个圆盘开始思考。
即：暂时不考虑n个圆盘的问题，而是先找出3个圆盘的“3层汉诺塔”的解法。

经过尝试我们可以得到“3层汉诺塔”的解法，移动7次即可解决问题，即：

仔细观看这个移动过程，我们仿佛在做“重复且相似的事情”。之所以会有这种感觉是因为我们看到了一丝规律：
我们仔细看看图中①②③和⑤⑥⑦的移动过程：

• ①②③中，移动3次将2个圆盘从A柱移动到了C柱。
• ⑤⑥⑦中，移动3次将2个圆盘从C柱移动到了B柱。

再仔细看看移动2个圆盘的规律：

虽然移动的目的地不同，但是这两个行为动作却是非常相似的。而这种“移动2个圆盘”的动作不就是“2层汉诺塔”的解法吗。
用同样的思路我们可以进一步解决“5层汉诺塔”的问题，即：

• 首先，将4个圆盘从A柱移到C柱（解出4层）
• 然后，将（5个中）最大的圆盘从A柱移到B柱
• 最后，将4个圆盘从C柱移到B柱（解出4层）
  “4层汉诺塔”，“3层汉诺塔”“2层汉诺塔”…也是用同样的解法。当然“1层汉诺塔”只需要移动一次圆盘就完成了。

通过这种方式我们可以总结出n层汉诺塔的解法：
我们用x,y,z来分别代表起点柱，目标柱，中转柱。注意：x,y,z并不具体代表A,B,C柱子，在不同情况下会不固定的对应A,B,C中的某一个。
解决n层汉诺塔的步骤，即：利用z柱将n个圆盘从x柱转移至y柱。
将n个圆盘从x柱，经由z柱中转，移到y柱时：

• 当n=0时：
  * 不做任何操作
• 当n>0时：
  * 首先，将n-1个圆盘从A柱移到C柱（解出n-1层）
  * 然后，将（n个中）最大的圆盘从A柱移到B柱
  * 最后，将n-1个圆盘从C柱移到B柱（解出n-1层）

由以上步骤可知：为了解出n层汉诺塔，要使用n-1层汉诺塔的解法。
那么，我们可以用H(n)表示解出n层汉诺塔所需的最少移动次数。
当n=0时，H(0)=0;
当n=1时，H(1)=1;
当n=2时，H(2)=H(1) + 1 + H(1) = 3;
当n=3时，H(3)=H(2) + 1 + H(2) = 7;
。
。
。
最终我们可以得到：

即：

这就是我们这个问题的递推公式。
当然，仔细的朋友已经发现：
0 = 1 - 1；
1 = 2 - 1；
3 = 4 - 1；
7 = 8 - 1；
。。。
即：H(n) = 2^n - 1;

前面的思路其实已经相当于伪代码了。既然我们的思路已经这么清晰了，那我们来尝试写写代码吧：

#include 
#include 
using namespace std;
int hanoi(int n, char x, char y, char z);
int num = 0;
int main()
{
	int n;
	printf("请输入汉诺塔的层数：");
	cin >> n;
	hanoi(n, 'A', 'B', 'C');
	printf("共移动了 %d 次。\n", num);
	return 0;
}
// n表示要将多少个"圆盘"从起始柱子A移动至目标柱子B
// x表示起始柱子,y表示目标柱子,z表示过渡柱子
int hanoi(int n, char x, char y, char z)
{
	if (n == 0)
	{
	}
	else
	{
		hanoi(n - 1, x, z, y);// 递归处理,一开始的时候,先将n-1个盘子移至过渡柱z上
		printf("第%d步：  将 %d 号圆盘从 %c 移至 %c \n",num+1, n, x, y); // 然后再将最底下的大盘子直接移至目标柱子y
		num++;
		hanoi(n - 1, z, y, x); // 然后重复以上步骤,递归处理放在过渡柱z上的n-1个盘子,
							   // 这时x已经为空，所以x被当成过渡柱了
	}
	return 0;
}

假设我们算的是4层汉诺塔，运行结果如下：