四元数基础公式总结

四元数定义

定义

一个四元数$\hat{q}$定义如下:
$$\hat{q}=(q_v,q_w)=i{q}_x+j{q}_y+k{q}_z+q_w=q_v+q_w$$
$$q_v=i{q}_x+j{q}_y+k{q}_z=(q_x,q_y,q_z)$$
$$i^2=j^2=k^2=-1,jk=-kj=i,ki=-ik=j,ij=-ji=k$$
变量$q_w$称为四元数实部，$q_v$称为四元数虚部，$i,j,k$称为虚部单位。

运算

对于四元数而言，一般的向量运算都适用于四元数。

• 乘法运算：$$\begin{array}{rl}\hat{q}\hat{r}& =(i{q}_x+j{q}_y+k{q}_z+q_w)(i{r}_x+j{r}_y+k{r}_z+r_w)\\ & +i(q_y{r}_z-q_z{r}_y+r_w{q}_x+q_w{r}_x)\\ & +j(q_z{r}_x-q_x{r}_z+r_w{q}_y+q_w{r}_y)\\ & +k(q_x{r}_y-q_y{r}_x+r_w{q}_z+q_w{r}_y)\\ & +q_w{r}_w-q_x{r}_x-q_y{r}_y-q_z{r}_z\\ & =(q_v\times r_v+r_w{q}_v+q_w{r}_v,q_w{r}_w-q_v\cdot r_v)\end{array}$$
• 加法运算：$$\hat{q}+\hat{r}=(q_v,q_w)+(r_v,r_w)=(q_v+r_v,q_w+r_w)$$
• 共轭运算：$${\hat{q}}^{\ast }=(q_v,q_w{)}^{\ast }=(-q_v,q_w)$$
• 第二范数：$$n(\hat{q})=\sqrt{\hat{q}{\hat{q}}^{\ast }}=\sqrt{{\hat{q}}^{\ast }\hat{q}}=\sqrt{q_v\cdot q_v+q_w^2}=\sqrt{q_x^2+q_y^2+q_z^2+q_w^2}$$
• Identity:$$\hat{i}=(0,1)$$
• 求逆：$${\hat{q}}^{-1}=\frac{1}{n(\hat{q}{)}^2}{\hat{q}}^{\ast }$$
• 数乘：$$\hat{q}s=s\hat{q}=(0,s)(q_v,q_w)$$
• 共轭法则：$$({\hat{q}}^{\ast }{)}^{\ast }=\hat{q}$$$$(\hat{q}+\hat{r}{)}^{\ast }={\hat{q}}^{\ast }+{\hat{r}}^{\ast }$$$$(\hat{q}\hat{r}{)}^{\ast }={\hat{r}}^{\ast }{\hat{q}}^{\ast }$$
• 范数法则：$$n({\hat{q}}^{\ast })=n(\hat{q})$$$$n(\hat{q}\hat{r})=n(\hat{q})n(\hat{r})$$
• 乘法法则：
  • 分配律：$$\hat{p}(s\hat{q}+t\hat{r})=s\hat{p}\hat{q}+t\hat{p}\hat{r}$$$$(s\hat{p}+t\hat{q})\hat{r}=s\hat{p}\hat{r}+t\hat{q}\hat{r}$$
  • 结合律：$$\hat{p}(\hat{q}\hat{r})=(\hat{p}\hat{q})\hat{r}$$

单位四元数

$n(\hat{q})=1$的四元数称为单位四元数，可写作：
$$\hat{q}=(\sin \varphi u_q,\cos \varphi )=\sin \varphi u_q+\cos \varphi =e^{\varphi u_q}$$

• 对数：$$\log (\hat{q})=\log (e^{\varphi u_q})=\varphi u_q$$
• 幂：$${\hat{q}}^t=(\sin \varphi u_q+\cos \varphi {)}^t=e^{\varphi t{u}_q}=\sin (\varphi t)u_q+\cos (\varphi t)$$