逆序对之树状数组

题目

题目解析

• 逆序对可以用归并排序和树状数组：
• 归并排序就不用讲了，我们来讲讲树状数组

算法简介

树状数组

• 树状数组(Binary Indexed Tree(B.I.T), Fenwick Tree)是一个查询和修改复杂度都为${\log }_{2}n$的数据结构。主要用于查询任意两位之间的所有元素之和，但是每次只能修改一个元素的值；经过简单修改可以在${\log }_{2}n$的复杂度下进行范围修改。
• 这种数据结构（算法）并没有C++和Java的库支持，需要自己手动实现。在Competitive Programming的竞赛中被广泛的使用。树状数组和线段树很像。
• 如下图，就是一种树状数组：
  
• 假设数组$a_1{a}_2\dots a_n$，那么查询$a_1$ $+$ $ \ldots$ $+$ $a_n$的时间是${\log }_{2}n$级别的，而且是一个在线的数据结构，支持随时修改某个元素的值，复杂度也为${\log }_{2}n$级别。
• 来观察这个图：
• 令这棵树的结点编号为$C_1$,$C_2$ $\dots$ $C_n$。令每个结点的值为这棵树的值的总和，那么容易发现：

$$C_1=A_1$$
$$C_2=A_1+A_2$$
$$C_3=A_3$$
$$C_4=A_1+A_2+A_3+A_4$$
$$\dots$$
$$C_{16}=A_1+A_2+A_3+A_4+A_5+A_6+A_7+A_8+A_9+A_{10}+A_{11}+A_{12}+A_{13}+A_{14}+A_{15}+A_{16}$$

• 这里有一个有趣的性质
• 设节点编号为$x$，那么这个节点管辖的区间为$2^k$（其中$k$为$x$二进制末尾0的个数）个元素。因为这个区间最后一个元素必然为$A_x$，
• 所以很明显：

$C_n$ $=$ $A_{(}$n$ $–$ $2^k$ $+$ $1$)$ $+$ $\dots$ $+$ $A_n$

• 算这个$2^k$有一个快捷的办法，定义一个函数如下即可：

int lowbit(int x){
return x&-x;
}

代码实现

#include
#include 
using namespace std;
int n,m,a[500039],x,y,z,s[500039],fs[500039];
long long ans,f[500039],tot;
inline void read(int &x) {
	x=0;char s=getchar();int fs=1;
	while(s<'0'||s>'9') {
    if(s=='-')fs=-1;
    s=getchar();
    }
	while(s>='0'&&s<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+(s^48),s=getchar();
	x*=fs;
}
inline void get(int x,int z){
	while(x<=n)f[x]+=z,x+=x&-x;
    }
inline long long find(int x){
	tot=0;
	while(x)tot+=f[x],x-=x&-x;
	return tot;
}
inline bool cmp(int x,int y){return a[x]<a[y];}
int main(){
	system("title \"【树状数组】逆序对\"");
	register int i;
	read(n);
	for(i=1;i<=n;i++)read(a[i]),s[i]=i;
	sort(s+1,s+n+1,cmp);
	fs[s[1]]=1;
	for(i=2;i<=n;i++){
		if(a[s[i]]==a[s[i-1]]) fs[s[i]]=fs[s[i-1]];
		else fs[s[i]]=i;
	}
	for(i=1;i<=n;i++){
		ans+=find(n)-find(fs[i]);
		get(fs[i],1);
	}
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}