HDU - 2084 数塔 详细题解

数塔

在讲述DP算法的时候，一个经典的例子就是数塔问题，它是这样描述的：

有如下所示的数塔，要求从顶层走到底层，若每一步只能走到相邻的结点，则经过的结点的数字之和最大是多少？

已经告诉你了，这是个DP的题目，你能AC吗?

Input输入数据首先包括一个整数C,表示测试实例的个数，每个测试实例的第一行是一个整数N(1 <= N <= 100)，表示数塔的高度，接下来用N行数字表示数塔，其中第i行有个i个整数，且所有的整数均在区间[0,99]内。
Output对于每个测试实例，输出可能得到的最大和，每个实例的输出占一行。
Sample Input

1
5
7
3 8
8 1 0 
2 7 4 4
4 5 2 6 5

Sample Output

30

详细题解：

数塔是动态规划中的基础题目，是要在给定的数字三角形中寻找一条从顶部到底部的路径，使得路径上所有经过的数字之和最大。每一步都只能往下或者右下走（由给 定的样例为准）。只需要求出这个最大和即可，不必给出具体路径。

首先我们来看这道题。最简单的想法，我们可以利用递归的思想，通过深度遍历每条路径进行求解，但是这个办法中存在大量的重复计算故而必然会超时。所以我们采 用递推地办法去求解这个问题。递归和递推本人认为并没有太大的技术障碍，递归是从每条路径的顶端开始，要求得顶端，便需要不断递归顶端的低端构成部分；而递推直 接从底部出发，向上递推求出最大值。

对递推进行空间优化，便可用一维数组summax来储存最大值。利用二维数组dp[][]来储存数字三角形。首先将一维数组 summax 指向数字三角形的第 n 行，通过遍历 i 第 n-1 到第 1 行、 j 第 1 到第 i 列寻找整个数字三角形的最大值 summax[1] ；当然，必须是较大的那个数字加上当前的dp数字。

下面附上AC代码：

#include
#include
#include
using namespace std;
#define MAX 101
int dp[MAX][MAX];
int *summax;
int n;
int main(){
	int t;
	while(cin>>t){
		while(t--){
			cin>>n;
			for(int i=1;i<=n;i++)
				for(int j=1;j<=i;j++)
					cin>>dp[i][j];
			summax=dp[n];
			for(int i=n-1;i>=1;i--)
				for(int j=1;j<=i;j++)
					summax[j]=max(summax[j],summax[j+1])+dp[i][j];
			cout<