模板：组合数学

组合数学

组合数取模

为方便，记$C(n,m)=C_n^m=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right)$。

struct Factorial//预处理阶乘及对应的逆元
{
	vector fac,ifac;
	ll M;
	Factorial(int N,ll M):fac(N,1),ifac(N,1),M(M)
	{
		for(int i=2; i

组合数lcm

$(n+1)lcm(C(n,0),C(n,1),\dots ,C(n,k))=lcm(n+1,n,n-1,n-2,\dots ,n-k+1)$

区间lcm的维护

对于一个数，将其分解质因数，若有因子$p^k$，那么拆分出k个数 $p^1,p^2,\dots ,p^k$，权值都为p，那么区间$[l,r]$内所有数的lcm的答案=所有在该区间中出现过的数的权值之积，可持久化线段树维护之。

Stirling数

第一类斯特林数

第一类斯特林数$S(p,k)$的一个的组合学解释是：将p个物体排成k个非空循环排列的方法数。
递推公式：$S(p,k)=(p-1)S(p-1,k)+S(p-1,k-1),1\le k\le p-1;S(p,0)=0,p\ge 1;S(p,p)=1,p\ge 0$

第二类斯特林数

第二类斯特林数$S(p,k)$的一个的组合学解释是：将p个物体划分成k个非空不可辨别的（可以理解为盒子没有编号）集合的方法数。
递推公式：$S(p,k)=kS(p-1,k)+S(p-1,k-1),1\le k\le p-1;S(p,0)=0,p\ge 1;S(p,p)=1,p\ge 0$
卷积形式：$S(n,m)=\frac{1}{m!}{\sum }_{k=0}^m(-1{)}^{k}C(m,k)(m-k{)}^n={\sum }_{k=0}^m\frac{(-1{)}^k}{k!}\frac{(m-k{)}^n}{(m-k)!}$
同时有转化：$x^k={\sum }_{i=1}^{k}i!C(x,i)S(k,i)$

斯特林近似公式

$n!\approx \sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e}{)}^n$

小球入盒问题

k 个球	m个盒子	空盒子	方案数
各不相同	各不相同	允许	$m^k$
各不相同	各不相同	无	$m!Stirling2(k,m)$
各不相同	完全相同	允许	${\sum }_{i=1}^{m}Stirling2(k,i)$
各不相同	完全相同	无	$Stirling2(k,m)$
完全相同	各不相同	允许	$C(m+k-1,k)$
完全相同	各不相同	无	$C(k-1,m-1)$
完全相同	完全相同	允许	$\frac{1}{(1-x)(1-x^2)...(1-x^m)}的x^k项的系数$
完全相同	完全相同	无	$\frac{x^m}{(1-x)(1-x^2)...(1-x^m)}的x^k项的系数$

置换

struct Permutation:vector
{
	Permutation(int n=0):vector(n) {}
	friend Permutation operator*(const Permutation &f,const Permutation &g)
	{
		Permutation ans(f.size());
		for(int i=0; i > cycle(const Permutation &f)
	{
		vector vis(f.size(),0);
		vector > ans;
		for(int i=0; i());
				for(int j=i; !vis[j]; j=f[j])
				{
					vis[j]=1;
					ans.back().push_back(j);
				}
			}
		return ans;
	}
};

生成下一字典序

生成排列

对给定的排列$a_1{a}_2\dots a_n$，找到$a_j$使得$a_j<a_{j+1},a_{j+1}>a_{j+2}>\dots >a_n$即这列数中最后一个相邻递增数对，然后把$a_{j+1},a_{j+2},\dots ,a_n$中大于$a_j$的最小数放到位置j，然后$a_j\dots a_n$中剩余的数从小到大排序放到$[j+1,n]$中。

bool nextPermutation(ll *b,ll *e)//标准库有这个函数next_permutation
{
	ll *i=e-1,*j=e-2;
	while(j>=b&&*j>=*(j+1))--j;
	if(j

生成组合

//待填坑

位运算应用

生成所有非空子集

枚举i的非空子集j。

for(j=i; j; j=i&j−1) {}

gcc内置位运算

这些函数都有相应的usigned long和usigned long long版本，只需要在函数名后面加上l或ll就可以了，比如__builtin_clzll.

int __builtin_clz(unsigned int x);//求前缀0的个数
int __builtin_ctz(unsigned int x);//求后缀0的个数
int __builtin_ffs(unsigned int x);//x的二进制末尾最后一个1的位置，从1开始
int __builtin_popcount(unsigned int x);//x二进制中1的个数，相当于bitset::count()
int __builtin_parity(unsigned int x);//判断x的二进制中1的个数的奇（1）偶（0）性

二项式反演

$f(n)={\sum }_{k=0}^{n}C(n,k)g(k),g(n)={\sum }_{k=0}^n(-1{)}^{n-k}C(n,k)f(k)$

第k小期望

$f(n,k)$ 表示有n个变量，和为1，第k小的期望。
$f(n,k)=\frac{1}{n^2}+(1-\frac{1}{n})f(n-1,k-1),f(n,0)=0$

错排数

考虑一个有n个元素的排列，若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的排列就称为原排列的一个错排。
n个元素的错排数$D_n$满足递推公式：$D_1=0,D_2=1,D_n=(n-1)(D_{n-2}+D_{n-1})$
通项：$D(n)=n![\frac{(-1{)}^2}{2!}+\dots +\frac{(-1{)}^{n-1}}{(n-1)!}+\frac{(-1{)}^n}{n!}]=\lfloor \frac{n!}{e}+\frac{1}{2}\rfloor$

Bonuli数

$B_n=-\frac{1}{C(n+1,n)}(C(n+1,0)B_0+C(n+1,1)B_1+\dots +C(n+1,n-1)B_{n-1})=-\frac{1}{n+1}(C(n+1,0)B_0+C(n+1,1)B_1+\dots +C(n+1,n-1)B_{n-1})$
可用于计算任意正整数次数的幂和：${\sum }_{i=1}^n{i}^k=\frac{1}{k+1}{\sum }_{j=0}^{k}C(k+1,j)B_j{n}^{k+1-j}$

struct Bonuli:Factorial
{
	vector b;
	Bonuli(int N,ll M):Factorial(N,M),b(N,0)
	{
		for(int i=b[0]=1; i

Catalan数

$h_1=1,h_n=\frac{4n-2}{n+1}{h}_{n-1}=\frac{C(2n,n)}{n+1}=C(2n,n)-C(2n,n-1)$。
在一个格点阵列中，从$(0,0)$点走到$(n,m)$点且不经过对角线$x=y$的方法数：$ C(n + m−1,m)−C(n + m−1,m−1),x > y;C(n + m,m)−C(n + m,m−1),x\ge y$。

Bell数

把n个带标号的物品划分为若干不相交集合的方案数称为贝尔数，其递推公式：$B_n={\sum }_{i=0}^{N-1}{C}_{n-1}^i{B}_i$
前几项贝尔数：$1,2,5,15,52,203,877,4140,21147,115975,678570,4213597,27644437,190899322,1382958545,\dots$
下为$O(P^2\log P)$求$B_n$对P取模。

struct Bell {
	static const int P=999999598,N=7284;
	int a[4],f[N],s[2][N],i,j,x;
	Bell() {
		a[0]=2,a[1]=13,a[2]=5281,a[3]=7283;//P的质因数分解
		f[0]=f[1]=s[0][0]=1,s[0][1]=2;
		for(i=2,x=1; i

等价类容斥

考虑容斥，Bell§枚举所有等价情况。对于一种情况，强制了一个等价类里面的数都要相同，其它的可以相同也可以不同。
容斥系数为：$(-1{)}^{p-等价类个数}(每个等价类大小-1)!之积$。

Grey码

格雷序列第i个是i^(i>>1)。长为n的01序列共$2^n$个，下标从$0\dots 2^n-1$。

扩展Cayley公式

对于n个点，m个连通块的图，假设每个连通块有a[i]个点，那么用s−1条边把它连通的方案数为$n^{s-2}a[1]a[2]...a[m]$。

超立方体

n维超立方体有 $2^{n-i}C(n,i)$ 个i维元素。

有根树森林

固定k个点作为根的n个点的带标号有根树森林的方案数是$n^{n-k-1}k$。